) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um conjunto gerador para um subespaço de matrizes 2x2 onde o elemento da posição (1,2) é igual a -x, ou seja, . Isso está relacionado aos conceitos de subespaços vetoriais e geração de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como construir um conjunto de matrizes que, combinadas linearmente, possam gerar qualquer matriz que satisfaça .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz geral que pertence ao conjunto :
Como , podemos substituir por :
Isso mostra que qualquer matriz em é determinada pelos valores de , e .

Passo 3

Agora, vamos expressar a matriz geral de como uma combinação linear de matrizes básicas. Queremos encontrar matrizes que, multiplicadas por constantes, possam gerar qualquer matriz de .
Vamos separar cada variável:
Aqui, cada matriz multiplicada por uma variável representa uma “direção” no espaço das matrizes.

Passo 4

As matrizes que multiplicamos pelos coeficientes , e são:
Essas matrizes formam o conjunto gerador porque combinando elas com qualquer valor real, conseguimos construir qualquer matriz que esteja em .

Passo 5

Portanto, o conjunto gerador para o subespaço é:
Esse conjunto é suficiente para gerar todo o subespaço através de combinações lineares.

Resposta

Um conjunto gerador para é:

Exercícios relacionados

Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LI, então não tem solução.
II - Se é LD, então pode ter solução única.
III - Se é LI, então tem solução única.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
(I) Não sei
A equação do círculo com centro em e raio é dada por: . Abrindo a expressão obtemos:
onde . Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer para valores fixos de que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre e , podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos e . Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
© 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
(I) Não sei
Determine a dimensão de
.
(A) 0
(B) 1
© 2
(D) 3
(E) 4
(F) Não sei
Dados o conjunto gerador e
b) Escrever o vetor como combinação linear de u,v e w.