1^circ ) Dados os subespaços vetoriais do R^2, R^3 ou M2, determinar o conjunto gerador
P=(llx & y z & t) in M2(R) / y=-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um conjunto gerador para um subespaço de matrizes 2x2 onde o elemento da posição (1,2) é igual a -x, ou seja, . Isso está relacionado aos conceitos de subespaços vetoriais e geração de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como construir um conjunto de matrizes que, combinadas linearmente, possam gerar qualquer matriz que satisfaça .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz geral que pertence ao conjunto P = x & y z & t in M2(R) g| y = -x :
P = x & -x z & t g| x, z, t in R
Como , podemos substituir por :
Isso mostra que qualquer matriz em é determinada pelos valores de , e .

Passo 3

Agora, vamos expressar a matriz geral de x & -x z & t = x 1 & -1 0 & 0 + z 0 & 0 1 & 0 + t 0 & 0 0 & 1 como uma combinação linear de matrizes básicas. Queremos encontrar matrizes que, multiplicadas por constantes, possam gerar qualquer matriz de .
Vamos separar cada variável:
Aqui, cada matriz multiplicada por uma variável representa uma “direção” no espaço das matrizes.

Passo 4

As matrizes que multiplicamos pelos coeficientes 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , e são:
Essas matrizes formam o conjunto gerador porque combinando elas com qualquer valor real, conseguimos construir qualquer matriz que esteja em .

Passo 5

Portanto, o conjunto gerador G = 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 para o subespaço é:
Esse conjunto é suficiente para gerar todo o subespaço através de combinações lineares.

Resposta

Um conjunto gerador para G = 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é:

Exercícios relacionados