) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um conjunto gerador para um subespaço de matrizes 2x2 onde o elemento da posição (1,2) é igual a -x, ou seja, . Isso está relacionado aos conceitos de subespaços vetoriais e geração de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como construir um conjunto de matrizes que, combinadas linearmente, possam gerar qualquer matriz que satisfaça .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz geral que pertence ao conjunto :
Como , podemos substituir por :
Isso mostra que qualquer matriz em é determinada pelos valores de , e .
Passo 3
Agora, vamos expressar a matriz geral de como uma combinação linear de matrizes básicas. Queremos encontrar matrizes que, multiplicadas por constantes, possam gerar qualquer matriz de .
Vamos separar cada variável:
Aqui, cada matriz multiplicada por uma variável representa uma “direção” no espaço das matrizes.
Passo 4
As matrizes que multiplicamos pelos coeficientes , e são:
Essas matrizes formam o conjunto gerador porque combinando elas com qualquer valor real, conseguimos construir qualquer matriz que esteja em .
Passo 5
Portanto, o conjunto gerador para o subespaço é:
Esse conjunto é suficiente para gerar todo o subespaço através de combinações lineares.