Determine a dimensão de
.
(A) 0
(B) 1
© 2
(D) 3
(E) 4
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a dimensão do conjunto gerado pelas quatro colunas dadas, ou seja, queremos saber quantas dessas colunas são linearmente independentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna dessa matriz:

Passo 3

Nosso próximo passo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples, chamada de forma escalonada por linhas, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Isso nos ajudará a identificar quais colunas são pivotantes, ou seja, quais têm pivôs que indicam vetores independentes.

Passo 4

Vamos começar a reduzir a matriz:
  1. Primeira linha já tem um 1 na primeira posição, então mantemos ela.
  2. Segunda linha: adicionamos a primeira linha à segunda para eliminar o -1:
  1. Terceira linha: adicionamos 3 vezes a primeira linha à terceira:
  1. Quarta linha: adicionamos a primeira linha à quarta:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, observamos a segunda coluna na segunda linha. Podemos simplificar dividindo a segunda linha por -2:
Em seguida, adicionamos a segunda linha à terceira para eliminar o -1:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, identificamos as linhas com pivôs. As duas primeiras linhas têm pivôs nas primeiras e segundas colunas, respectivamente. Isso significa que temos dois vetores linearmente independentes.

Resposta

A dimensão do espaço gerado é 2. Portanto, a opção correta é a © 2.

Exercícios relacionados

) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
.
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LI, então não tem solução.
II - Se é LD, então pode ter solução única.
III - Se é LI, então tem solução única.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
(I) Não sei
Dados o conjunto gerador e
b) Escrever o vetor como combinação linear de u,v e w.
O conjunto tais que pode ser representado por:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei