Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a dimensão do conjunto gerado pelas quatro colunas dadas, ou seja, queremos saber quantas dessas colunas são linearmente independentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna dessa matriz:
Passo 3
Nosso próximo passo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples, chamada de forma escalonada por linhas, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Isso nos ajudará a identificar quais colunas são pivotantes, ou seja, quais têm pivôs que indicam vetores independentes.
Passo 4
Vamos começar a reduzir a matriz:
Primeira linha já tem um 1 na primeira posição, então mantemos ela.
Segunda linha: adicionamos a primeira linha à segunda para eliminar o -1:
Terceira linha: adicionamos 3 vezes a primeira linha à terceira:
Quarta linha: adicionamos a primeira linha à quarta:
Após essas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, observamos a segunda coluna na segunda linha. Podemos simplificar dividindo a segunda linha por -2:
Em seguida, adicionamos a segunda linha à terceira para eliminar o -1:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, identificamos as linhas com pivôs. As duas primeiras linhas têm pivôs nas primeiras e segundas colunas, respectivamente. Isso significa que temos dois vetores linearmente independentes.