A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
. Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer
para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
© 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
(I) Não sei
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
© 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio de um círculo que passa por três pontos específicos: (1, -1), (3, -2) e (-3, 4). Para isso, vamos usar a equação geral do círculo e resolver um sistema de equações. Vamos precisar de álgebra básica para montar e resolver esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação geral do círculo:
Aqui,
é o centro do círculo e
é o raio. Vamos expandir essa equação:
Rearranjando os termos, fica:
Podemos comparar isso com a forma dada no exercício:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos usar os três pontos dados para montar o sistema de equações. Substituindo cada ponto na equação geral, temos:
Para o ponto (1, -1):
Para o ponto (3, -2):
Para o ponto (-3, 4):
Passo 4
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Vamos isolar
na Equação 1:
Substituímos
nas Equações 2 e 3:
Equação 2:
Equação 3:
Passo 5
Agora, temos o sistema simplificado:
Vamos resolver as Equações 2’ e 3’ para encontrar
e
.
Primeiro, da Equação 2’:
Substituímos
na Equação 3’:
Agora, encontramos
:
E, substituindo
e
na Equação 1 para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, vamos encontrar o centro
e o raio
do círculo.
Lembrando que:
Agora, para encontrar
, usamos a relação:
Resposta
O centro do círculo é
e o raio é aproximadamente 10,1. Portanto, a opção correta é:
(H) 10.1