A equação do círculo com centro em (x0, y0) in R^2 e raio r é dada por: (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2. Abrindo a expressão obtemos:
x^2+a x+y^2+b y=c
onde a=-2 x0, b=-2 y0, c=r^2-x0^2-y0^2. Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x0, y0, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (1,-1),(3,-2) e (-3,4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 3.1
(B) 4.1
© 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio de um círculo que passa por três pontos específicos: (1, -1), (3, -2) e (-3, 4). Para isso, vamos usar a equação geral do círculo e resolver um sistema de equações. Vamos precisar de álgebra básica para montar e resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação geral do círculo:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Aqui, x^2 - 2x0x + x0^2 + y^2 - 2y0y + y0^2 = r^2 é o centro do círculo e x^2 + y^2 - 2x0x - 2y0y = r^2 - x0^2 - y0^2 é o raio. Vamos expandir essa equação:
x^2 + a x + y^2 + b y = c
Rearranjando os termos, fica:
Podemos comparar isso com a forma dada no exercício:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos usar os três pontos dados para montar o sistema de equações. Substituindo cada ponto na equação geral, temos:
Para o ponto (1, -1):
1^2 + a(1) + (-1)^2 + b(-1) = c 1 + a + 1 - b = c a - b = c - 2 (Equação 1) çã
Para o ponto (3, -2):
3^2 + a(3) + (-2)^2 + b(-2) = c 9 + 3a + 4 - 2b = c 3a - 2b = c - 13 (Equação 2) çã
Para o ponto (-3, 4):
(-3)^2 + a(-3) + 4^2 + b(4) = c 9 - 3a + 16 + 4b = c -3a + 4b = c - 25 (Equação 3) çã

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
  1. c = a - b + 2
  2. 3a - 2b = (a - b + 2) - 13 3a - 2b = a - b - 11 2a - b = -11 (Equação 2')
  3. -3a + 4b = (a - b + 2) - 25 -3a + 4b = a - b - 23 -4a + 5b = -23 (Equação 3')
Vamos resolver esse sistema. Vamos isolar na Equação 1:
Substituímos nas Equações 2 e 3:
Equação 2:
çã
Equação 3:
çã

Passo 5

Agora, temos o sistema simplificado:
  1. 2a - b = -11 b = 2a + 11
  2. -4a + 5(2a + 11) = -23 -4a + 10a + 55 = -23 6a = -78 a = -13
  3. b = 2(-13) + 11 = -26 + 11 = -15
Vamos resolver as Equações 2’ e 3’ para encontrar c = a - b + 2 = -13 - (-15) + 2 = -13 + 15 + 2 = 4 e .
Primeiro, da Equação 2’:
Substituímos na Equação 3’:
Agora, encontramos :
E, substituindo e na Equação 1 para encontrar :

Passo 6

Agora que temos x0 = -a2 = --132 = 132 = 6,5 y0 = -b2 = --152 = 152 = 7,5 , r^2 = x0^2 + y0^2 + c r^2 = (6,5)^2 + (7,5)^2 + 4 r^2 = 42,25 + 56,25 + 4 r^2 = 102,5 r = raiz102,5 approx 10,124 e , vamos encontrar o centro e o raio do círculo.
Lembrando que:
Agora, para encontrar , usamos a relação:

Resposta

O centro do círculo é e o raio é aproximadamente 10,1. Portanto, a opção correta é:
(H) 10.1

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