Dados o conjunto gerador
e
b) Escrever o vetor
como combinação linear de u,v e w.
b) Escrever o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de combinação linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor
,
e
para chegar ao vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que
é uma combinação linear de
,
e
se existirem números
,
e
tais que:
Substituindo os vetores pelos seus valores, temos:
Passo 3
Vamos multiplicar cada vetor pelos seus respectivos coeficientes:
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
-
(componente x) -
(componente y) -
(componente z)
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos pela terceira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Finalmente, substituímos
e
na primeira equação:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
,
e
da seguinte forma:
Ou simplificando: