Dados o conjunto gerador u=(1,1,1), v=(1,1,0) e w=(1,0,0)
b) Escrever o vetor p=(2,3,4) como combinação linear de u,v e w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de combinação linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor , e para chegar ao vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que a cdot u + b cdot v + c cdot w = p é uma combinação linear de a cdot (1, 1, 1) + b cdot (1, 1, 0) + c cdot (1, 0, 0) = (2, 3, 4) , e se existirem números , e tais que:
Substituindo os vetores pelos seus valores, temos:

Passo 3

Vamos multiplicar cada vetor pelos seus respectivos coeficientes:
(a, a, a) + (b, b, 0) + (c, 0, 0) = (2, 3, 4)
Agora, somamos as componentes correspondentes:
(a + b + c, , a + b, , a) = (2, 3, 4)

Passo 4

Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
  1. (componente x)
  2. (componente y)
  3. (componente z)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos pela terceira equação:
a = 4
Agora, substituímos 4 + b = 3 implies b = 3 - 4 implies b = -1 na segunda equação:
4 + (-1) + c = 2 implies 3 + c = 2 implies c = 2 - 3 implies c = -1
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Resposta

Portanto, o vetor p = 4 cdot u - 1 cdot v - 1 cdot w pode ser escrito como combinação linear dos vetores p = 4u - v - w , e da seguinte forma:
Ou simplificando:

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