Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
tem solução única.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
(I) Não sei
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
(I) Não sei
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço
. Existem dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas
e
. Precisamos analisar três afirmações sobre a independência linear (LI) e dependência linear (LD) desse conjunto de vetores e verificar quais delas são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, independência e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é LD.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sistema
:
Esse sistema representa a equação
. Se
for um conjunto LI, a única solução é
, ou seja, solução única.
Passo 4
Agora, vamos analisar a afirmação III: “Se
é LI, então
tem solução única.” Como acabamos de ver, isso é verdadeiro, porque a independência linear garante que a única solução é a trivial.
Passo 5
Vamos para a afirmação I: “Se
é LI, então
não tem solução.” O sistema
é:
Isso representa a equação
. Se
for LI, os vetores
e
não podem gerar
através de combinações lineares, então de fato
não teria solução.
Passo 6
Por fim, a afirmação II: “Se
é LD, então
pode ter solução única.” Se
é LD, existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, mas isso não garante que
tenha uma solução única. Na verdade, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos vetores. Portanto, essa afirmação é falsa.
Resposta
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. A resposta correta é a opção (A).