Considere beta=v1, v2, v3 subset R^6 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
(I) Não sei

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 no espaço R^6. Existem dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas S1 e S2. Precisamos analisar três afirmações sobre a independência linear (LI) e dependência linear (LD) desse conjunto de vetores e verificar quais delas são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, independência e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é LD.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sistema S1:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ]
Esse sistema representa a equação v1x + v2y + v3z = 0. Se beta for um conjunto LI, a única solução é x = y = z = 0, ou seja, solução única.

Passo 4

Agora, vamos analisar a afirmação III: “Se beta é LI, então S1 tem solução única.” Como acabamos de ver, isso é verdadeiro, porque a independência linear garante que a única solução é a trivial.

Passo 5

Vamos para a afirmação I: “Se beta é LI, então S2 não tem solução.” O sistema S2 é:
S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Isso representa a equação v1x + v2y = v3. Se beta for LI, os vetores v1 e v2 não podem gerar v3 através de combinações lineares, então de fato S2 não teria solução.

Passo 6

Por fim, a afirmação II: “Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.” Se beta é LD, existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, mas isso não garante que S2 tenha uma solução única. Na verdade, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos vetores. Portanto, essa afirmação é falsa.

Resposta

Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. A resposta correta é a opção (A).

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