) Dados os subespaços vetoriais do
ou
, determinar o conjunto gerador
e
.
e
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que achar o conjunto gerador
de um subespaço de matrizes 2x2,
. O enunciado nos diz que
consiste em todas as matrizes onde a soma dos elementos da primeira linha é zero (
) e a diferença dos elementos da segunda linha é zero (
). Para resolver isso, vamos expressar essas condições de maneira que possamos identificar as matrizes que geram esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos usar as condições dadas para expressar algumas das variáveis em termos das outras. Da condição
, podemos isolar
:
Da condição
, podemos isolar
:
Agora, substituímos esses valores na matriz geral:
Isso mostra que toda matriz em
pode ser escrita em termos de
e
.
Passo 3
Para encontrar o conjunto gerador, vamos expressar a matriz em termos de
e
. Podemos fatorar
e
como coeficientes de matrizes básicas:
Isso significa que qualquer matriz em
pode ser construída a partir dessas duas matrizes, multiplicadas por escalares
e
.
Passo 4
Portanto, o conjunto gerador
é formado por essas duas matrizes básicas:
Essas duas matrizes são suficientes para gerar todo o subespaço
definido pelas condições do enunciado.
Resposta
O conjunto gerador
é formado pelas matrizes
e
ou seja,
Exercícios relacionados
Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Dica: Projete
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
e
Verificar se os conjuntos são subespaços :
do