1^circ ) Dados os subespaços vetoriais do R^2, R^3 ou M2, determinar o conjunto gerador
e P=(llx & y z & t) in M2(R) / x+y=0.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que achar o conjunto gerador de um subespaço de matrizes 2x2, . O enunciado nos diz que consiste em todas as matrizes onde a soma dos elementos da primeira linha é zero ( ) e a diferença dos elementos da segunda linha é zero ( ). Para resolver isso, vamos expressar essas condições de maneira que possamos identificar as matrizes que geram esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos usar as condições dadas para expressar algumas das variáveis em termos das outras. Da condição y = -x , podemos isolar t = z :
x & -x z & z
Da condição , podemos isolar :
Agora, substituímos esses valores na matriz geral:
Isso mostra que toda matriz em pode ser escrita em termos de e .

Passo 3

Para encontrar o conjunto gerador, vamos expressar a matriz em termos de x & -x z & z = x 1 & -1 0 & 0 + z 0 & 0 1 & 1 e . Podemos fatorar e como coeficientes de matrizes básicas:
Isso significa que qualquer matriz em pode ser construída a partir dessas duas matrizes, multiplicadas por escalares e .

Passo 4

Portanto, o conjunto gerador P = 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 é formado por essas duas matrizes básicas:
Essas duas matrizes são suficientes para gerar todo o subespaço definido pelas condições do enunciado.

Resposta

O conjunto gerador 1 & -1 0 & 0 é formado pelas matrizes
0 & 0 1 & 1
e
P = 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1
ou seja,

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