) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
e .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que achar o conjunto gerador de um subespaço de matrizes 2x2, . O enunciado nos diz que consiste em todas as matrizes onde a soma dos elementos da primeira linha é zero ( ) e a diferença dos elementos da segunda linha é zero ( ). Para resolver isso, vamos expressar essas condições de maneira que possamos identificar as matrizes que geram esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos usar as condições dadas para expressar algumas das variáveis em termos das outras. Da condição , podemos isolar :
Da condição , podemos isolar :
Agora, substituímos esses valores na matriz geral:
Isso mostra que toda matriz em pode ser escrita em termos de e .

Passo 3

Para encontrar o conjunto gerador, vamos expressar a matriz em termos de e . Podemos fatorar e como coeficientes de matrizes básicas:
Isso significa que qualquer matriz em pode ser construída a partir dessas duas matrizes, multiplicadas por escalares e .

Passo 4

Portanto, o conjunto gerador é formado por essas duas matrizes básicas:
Essas duas matrizes são suficientes para gerar todo o subespaço definido pelas condições do enunciado.

Resposta

O conjunto gerador é formado pelas matrizes
e
ou seja,

Exercícios relacionados

Sejam
Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
e e .
Verificar se os conjuntos são subespaços :
do