) Dados os subespaços vetoriais do
ou
, determinar o conjunto gerador
e
e
.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto gerador para um subespaço vetorial de matrizes 2x2 com certas condições. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente subespaços vetoriais e conjuntos geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas condições afetam os elementos das matrizes e como podemos expressar todo o conjunto P a partir de uma ou mais matrizes base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador. Em Álgebra Linear, um conjunto gerador de um subespaço é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) de onde conseguimos construir todos os elementos desse subespaço através de combinações lineares. Ou seja, se encontrarmos um conjunto gerador para P, qualquer matriz que satisfaça as condições dadas pode ser escrita como uma combinação das matrizes desse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as condições que as matrizes em P precisam satisfazer:
Vamos usar essas equações para expressar todas as variáveis em termos de uma única variável, que pode ser
.
Passo 4
Primeiro, da primeira equação, já temos
.
Passo 5
Da segunda equação,
, substituindo
por
, temos:
Passo 6
Da terceira equação,
, substituindo
por
:
Passo 7
Agora, sabemos que todas as variáveis
,
e
estão expressas em termos de
. Portanto, qualquer matriz em P pode ser escrita como:
Passo 8
Observamos que podemos fatorar
dessa matriz:
Isso mostra que todas as matrizes em P são múltiplos da matriz:
Passo 9
Portanto, o conjunto gerador P é formado por essa única matriz, já que qualquer matriz em P pode ser obtida multiplicando essa matriz por algum número real
.
Resposta
O conjunto gerador P é
.
Exercícios relacionados
e
Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Dica: Projete
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Verificar se os conjuntos são subespaços :
do
(1,5) Sejam
e
. Determine
tal que o ângulo entre
e
seja
.