Considere o subespaço H subset R^4 definido por: H=span(0,2,-1,0),(-2,0,1,0),(6,4,-5,0). Qual dos conjuntos abaixo é base de H^perp (complemento ortogonal de H )?
(A) (4,-3,4,-2)
(B) (3,2,3,-3),(2,2,4,-2)
© (3,2,3,-3),(4,-3,4,-2)
(D) (4,4,8,1),(2,2,4,-2)
(E) (2,2,4,-2)
(F) (4,4,8,1)
(G) (3,2,3,-3)
(H) (4,4,8,1),(4,-3,4,-2)
(I) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: qual dos conjuntos apresentados é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos saber o que significa um complemento ortogonal. O é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Em termos práticos, isso significa que qualquer vetor em deve satisfazer que o produto interno com cada vetor que gera é zero.

Passo 2

Vamos encontrar os vetores que pertencem a 0 cdot x1 + 2 cdot x2 - 1 cdot x3 + 0 cdot x4 = 0 -2 cdot x1 + 0 cdot x2 + 1 cdot x3 + 0 cdot x4 = 0 6 cdot x1 + 4 cdot x2 - 5 cdot x3 + 0 cdot x4 = 0 . Seja um vetor em . Para que esteja em , ela deve ser ortogonal a cada um dos três vetores que geram . Portanto, temos as seguintes equações:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essas equações:
  1. \quad (Equação 1)
  2. \quad (Equação 2)
  3. \quad (Equação 3)
Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 4

Da Equação 2, podemos expressar -2x1 + x3 = 0 Rightarrow x3 = 2x1 em termos de :

Passo 5

Substituindo 2x2 - (2x1) = 0 Rightarrow 2x2 = 2x1 Rightarrow x2 = x1 na Equação 1:

Passo 6

Agora, substituímos 6x1 + 4x1 - 5(2x1) = 0 6x1 + 4x1 - 10x1 = 0 0 = 0 e na Equação 3:
Isso significa que não há restrição adicional para . Portanto, podemos escolher como parâmetro livre. Vamos definir , onde é um número real.

Passo 7

Com x2 = t x3 = 2t x4 é livre, mas não aparece nas equações, então x4 = 0 , temos:
x = (t, t, 2t, 0) = t cdot (1, 1, 2, 0) éãçõã
Portanto, qualquer vetor em tem a forma:

Passo 8

Isso significa que é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas esse vetor.
Agora, vamos verificar qual das opções corresponde a esse vetor ou a um múltiplo dele.

Passo 9

Analisando as opções:
  • (A)
  • (E)
  • (F)
  • (G)
Vamos verificar qual desses vetores é múltiplo de .
  • não é múltiplo exato, pois o último componente não é zero.
  • também não, pelo mesmo motivo.
  • e não são múltiplos do nosso vetor base.
Nenhuma das opções corresponde exatamente ao vetor . No entanto, devemos verificar a ortogonalidade de cada opção com os geradores de .

Passo 10

Vamos verificar a opção mais próxima, que é a opção (E) 0*2 + 2*2 + (-1)*4 + 0*(-2) = 0 + 4 - 4 + 0 = 0 :
  1. Produto interno com -2*2 + 0*2 + 1*4 + 0*(-2) = -4 + 0 + 4 + 0 = 0 :
6*2 + 4*2 + (-5)*4 + 0*(-2) = 12 + 8 - 20 + 0 = 0
  1. Produto interno com :
  1. Produto interno com :
Como todos os produtos internos são zero, o vetor está em .

Resposta

A opção correta é a (E) .

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