Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: qual dos conjuntos apresentados é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos saber o que significa um complemento ortogonal. O é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Em termos práticos, isso significa que qualquer vetor em deve satisfazer que o produto interno com cada vetor que gera é zero.
Passo 2
Vamos encontrar os vetores que pertencem a . Seja um vetor em . Para que esteja em , ela deve ser ortogonal a cada um dos três vetores que geram . Portanto, temos as seguintes equações:
Agora, substituímos e na Equação 3:
Isso significa que não há restrição adicional para . Portanto, podemos escolher como parâmetro livre. Vamos definir , onde é um número real.
Passo 7
Com , temos:
éãçõã
Portanto, qualquer vetor em tem a forma:
Passo 8
Isso significa que é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas esse vetor.
Agora, vamos verificar qual das opções corresponde a esse vetor ou a um múltiplo dele.
Passo 9
Analisando as opções:
- (A)
- (E)
- (F)
- (G)
Vamos verificar qual desses vetores é múltiplo de .
- não é múltiplo exato, pois o último componente não é zero.
- também não, pelo mesmo motivo.
- e não são múltiplos do nosso vetor base.
Nenhuma das opções corresponde exatamente ao vetor . No entanto, devemos verificar a ortogonalidade de cada opção com os geradores de .
Passo 10
Vamos verificar a opção mais próxima, que é a opção (E) :
1. Produto interno com :
2. Produto interno com :
3. Produto interno com :
Como todos os produtos internos são zero, o vetor está em .