Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )? (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: qual dos conjuntos apresentados é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, . Para resolver isso, precisamos saber o que significa um complemento ortogonal. O é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Em termos práticos, isso significa que qualquer vetor em deve satisfazer que o produto interno com cada vetor que gera é zero.

Passo 2

Vamos encontrar os vetores que pertencem a . Seja um vetor em . Para que esteja em , ela deve ser ortogonal a cada um dos três vetores que geram . Portanto, temos as seguintes equações:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essas equações: 1. \quad (Equação 1) 2. \quad (Equação 2) 3. \quad (Equação 3) Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 4

Da Equação 2, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo na Equação 1:

Passo 6

Agora, substituímos e na Equação 3: Isso significa que não há restrição adicional para . Portanto, podemos escolher como parâmetro livre. Vamos definir , onde é um número real.

Passo 7

Com , temos: éãçõã Portanto, qualquer vetor em tem a forma:

Passo 8

Isso significa que é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas esse vetor. Agora, vamos verificar qual das opções corresponde a esse vetor ou a um múltiplo dele.

Passo 9

Analisando as opções: - (A) - (E) - (F) - (G) Vamos verificar qual desses vetores é múltiplo de . - não é múltiplo exato, pois o último componente não é zero. - também não, pelo mesmo motivo. - e não são múltiplos do nosso vetor base. Nenhuma das opções corresponde exatamente ao vetor . No entanto, devemos verificar a ortogonalidade de cada opção com os geradores de .

Passo 10

Vamos verificar a opção mais próxima, que é a opção (E) : 1. Produto interno com : 2. Produto interno com : 3. Produto interno com : Como todos os produtos internos são zero, o vetor está em .

Resposta

A opção correta é a **(E) **.

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Considere em duas transformações lineares: Uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão através do eixo . A matrix que representa a transformação linear é: (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) Não sei
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta: (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) Não sei
Sejam Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é: Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil. (A) 5 (B) 7 (C) 4 (D) 6 (E) 3 (F) 1 (G) 8 (H) 2 (I) Não sei
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador Extra \left or missing \rightP=\left\{\left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right) \in M_{2}(R) / x+y=0 e .