Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de gerado pelos vetores , e . A pergunta é: qual dos conjuntos apresentados é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos saber o que significa um complemento ortogonal. O é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Em termos práticos, isso significa que qualquer vetor em deve satisfazer que o produto interno com cada vetor que gera é zero.
Passo 2
Vamos encontrar os vetores que pertencem a . Seja um vetor em . Para que esteja em , ela deve ser ortogonal a cada um dos três vetores que geram . Portanto, temos as seguintes equações:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essas equações:
\quad (Equação 1)
\quad (Equação 2)
\quad (Equação 3)
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Passo 4
Da Equação 2, podemos expressar -2x1 + x3 = 0 Rightarrow x3 = 2x1 em termos de :