Sejam v=(7,5,-2,4) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H. O valor de w3, a 3^a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor v = (7, 5, -2, 4) e um hiperplano H definido pela equação x + 3y - 2z + w = 0. A gente quer encontrar a projeção desse vetor v sobre o hiperplano H, que a gente chama de w = PH v. A pergunta final é: qual é o valor de w3, que é a terceira entrada de w? Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente o conceito de projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a projeção ortogonal de um vetor sobre um hiperplano é a “sombra” desse vetor no hiperplano. Para encontrar essa projeção, precisamos saber a parte do vetor v que está perpendicular ao hiperplano H, que chamamos de H^perp. A dica do exercício sugere projetar v em H^perp porque isso facilita o cálculo.

Passo 3

Vamos encontrar a normal ao hiperplano H. A normal é um vetor que é perpendicular a todo vetor no hiperplano. Pela equação do hiperplano x + 3y - 2z + w = 0, a normal é n = (1, 3, -2, 1). Essa é a direção de H^perp.

Passo 4

Agora, vamos projetar v sobre a normal n. A fórmula para a projeção de v em n é:
projn v = ( v cdot nn cdot n ) n
Aqui, v cdot n é o produto interno entre v e n, e n cdot n é o produto interno de n consigo mesmo.

Passo 5

Vamos calcular v cdot n:
v cdot n = 7 cdot 1 + 5 cdot 3 + (-2) cdot (-2) + 4 cdot 1 = 7 + 15 + 4 + 4 = 30
E agora n cdot n:
n cdot n = 1^2 + 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
projn v = ( 3015 ) n = 2 cdot (1, 3, -2, 1) = (2, 6, -4, 2)
Essa é a projeção de v em H^perp.

Passo 7

A projeção de v sobre o hiperplano H é então:
w = v - projn v = (7, 5, -2, 4) - (2, 6, -4, 2) = (5, -1, 2, 2)

Resposta

O valor de w3, a terceira entrada de w, é 2. Logo, a resposta correta é a opção (H) 2.

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