Sejam
Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor e um hiperplano definido pela equação . A gente quer encontrar a projeção desse vetor sobre o hiperplano , que a gente chama de . A pergunta final é: qual é o valor de , que é a terceira entrada de ? Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente o conceito de projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a projeção ortogonal de um vetor sobre um hiperplano é a “sombra” desse vetor no hiperplano. Para encontrar essa projeção, precisamos saber a parte do vetor que está perpendicular ao hiperplano , que chamamos de . A dica do exercício sugere projetar em porque isso facilita o cálculo.

Passo 3

Vamos encontrar a normal ao hiperplano . A normal é um vetor que é perpendicular a todo vetor no hiperplano. Pela equação do hiperplano , a normal é . Essa é a direção de .

Passo 4

Agora, vamos projetar sobre a normal . A fórmula para a projeção de em é:
Aqui, é o produto interno entre e , e é o produto interno de consigo mesmo.

Passo 5

Vamos calcular :
E agora :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Essa é a projeção de em .

Passo 7

A projeção de sobre o hiperplano é então:

Resposta

O valor de , a terceira entrada de , é . Logo, a resposta correta é a opção (H) 2.

Exercícios relacionados

Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere em duas transformações lineares: Uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão através do eixo . A matrix que representa a transformação linear é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
e .
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
e e .