Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Dica: Projete
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor
e um hiperplano
definido pela equação
. A gente quer encontrar a projeção desse vetor
sobre o hiperplano
, que a gente chama de
. A pergunta final é: qual é o valor de
, que é a terceira entrada de
? Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente o conceito de projeção ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a projeção ortogonal de um vetor sobre um hiperplano é a “sombra” desse vetor no hiperplano. Para encontrar essa projeção, precisamos saber a parte do vetor
que está perpendicular ao hiperplano
, que chamamos de
. A dica do exercício sugere projetar
em
porque isso facilita o cálculo.
Passo 3
Vamos encontrar a normal ao hiperplano
. A normal é um vetor que é perpendicular a todo vetor no hiperplano. Pela equação do hiperplano
, a normal é
. Essa é a direção de
.
Passo 4
Agora, vamos projetar
sobre a normal
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Aqui,
é o produto interno entre
e
, e
é o produto interno de
consigo mesmo.
Passo 5
Vamos calcular
:
E agora
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Essa é a projeção de
em
.
Passo 7
A projeção de
sobre o hiperplano
é então:
Resposta
O valor de
, a terceira entrada de
, é
. Logo, a resposta correta é a opção (H) 2.