(1,5) Sejam U=(2, a, 1) e V=(0,1,0). Determine a tal que o ângulo entre U e V seja pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e cálculo de ângulos entre vetores. Precisamos lembrar como calcular o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre U cdot V = u1v1 + u2v2 + u3v3 e U cdot V = 2 times 0 + a times 1 + 1 times 0 = a . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou módulo) de cada vetor. A norma de um vetor |U| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 é dada por:
|U| = raiz2^2 + a^2 + 1^2 = raiz4 + a^2 + 1 = raiza^2 + 5
Calculando para |V| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 :
E para :

Passo 4

Sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores é dado por:
cos(theta) = U cdot V|U| |V|
Substituindo os valores que já encontramos e o valor de cos(pi3) = araiza^2 + 5 :
12 = araiza^2 + 5
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar 12 raiza^2 + 5 = a . Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por raiza^2 + 5 = 2a :
a^2 + 5 = (2a)^2
Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
a^2 + 5 = 4a^2
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
a^2 + 5 = 4a^2 5 = 4a^2 - a^2 5 = 3a^2 a^2 = 53
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
a = pm raiz53 = pm raiz153

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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