(1,5) Sejam
e
. Determine
tal que o ângulo entre
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e cálculo de ângulos entre vetores. Precisamos lembrar como calcular o produto escalar e as normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou módulo) de cada vetor. A norma de um vetor
é dada por:
Calculando para
:
E para
:
Passo 4
Sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores é dado por:
Substituindo os valores que já encontramos e o valor de
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.