1^circ ) Dados os subespaços vetoriais do R^2, R^3 ou M2, determinar o conjunto gerador
P=(llx & y z & t) in M2(R) / y-x=y-z=x+t=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que encontrar o conjunto gerador y - x = 0, y - z = 0, x + t = 0 de um subespaço de matrizes 2x2 com números reais, ou seja, em . Esse conjunto é formado por todas as matrizes que satisfazem as condições:
Então, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma dessas equações:
  1. significa que .
  2. significa que .
  3. significa que .

Passo 3

Agora, substituímos as igualdades que encontramos nas equações:
  • De x & x x & -x
  • E (já que )
  • E
Então, qualquer matriz na forma:
satisfaz todas as três condições.

Passo 4

Para encontrar o conjunto gerador x cdot 1 & 1 1 & -1 , observamos que todas essas matrizes podem ser escritas como múltiplos de uma única matriz básica. Nesse caso, podemos fatorar o 1 & 1 1 & -1 :
Isso mostra que todas as matrizes em são geradas por .

Resposta

O conjunto gerador 1 & 1 1 & -1 é formado por todas as matrizes que são múltiplos da matriz P = x cdot 1 & 1 1 & -1 mid x in R . Ou seja:

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