) Dados os subespaços vetoriais do
ou
, determinar o conjunto gerador
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um conjunto de vetores
e nos pede para encontrar um conjunto gerador para ele. Isso está relacionado ao estudo dos subespaços vetoriais no
. Basicamente, vamos descobrir quais vetores podemos combinar (usando soma e multiplicação por escalar) para “gerar” todos os vetores que satisfazem a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto
. Todos os vetores em
têm três componentes
, mas essas componentes não são independentes; elas estão relacionadas pela equação
. Isso significa que, se escolhermos valores para
e
, o valor de
será determinado automaticamente.
Passo 3
Vamos expressar
em termos de
e
:
Agora, podemos reescrever o vetor
substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos separar os termos que envolvem
e
:
Aqui, estamos expressando qualquer vetor em
como uma combinação linear de dois vetores:
e
.
Passo 5
Isso significa que o conjunto
gera o subespaço
. Em outras palavras, qualquer vetor que satisfaça
pode ser obtido somando múltiplos desses dois vetores.
Resposta
O conjunto gerador para
é: