1^circ ) Dados os subespaços vetoriais do R^2, R^3 ou M2, determinar o conjunto gerador
V=(x, y, z) / z=x-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um conjunto de vetores e nos pede para encontrar um conjunto gerador para ele. Isso está relacionado ao estudo dos subespaços vetoriais no . Basicamente, vamos descobrir quais vetores podemos combinar (usando soma e multiplicação por escalar) para “gerar” todos os vetores que satisfazem a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto . Todos os vetores em têm três componentes , mas essas componentes não são independentes; elas estão relacionadas pela equação . Isso significa que, se escolhermos valores para e , o valor de será determinado automaticamente.

Passo 3

Vamos expressar z = x - 2y em termos de (x, y, z) = (x, y, x - 2y) e :
Agora, podemos reescrever o vetor substituindo :

Passo 4

Agora, vamos separar os termos que envolvem (x, y, x - 2y) = x cdot (1, 0, 1) + y cdot (0, 1, -2) e :
Aqui, estamos expressando qualquer vetor em como uma combinação linear de dois vetores: e .

Passo 5

Isso significa que o conjunto gera o subespaço . Em outras palavras, qualquer vetor que satisfaça pode ser obtido somando múltiplos desses dois vetores.

Resposta

O conjunto gerador para , (1,; 0,; 1),;; (0,; 1,; -2) , é:

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