) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um conjunto de vetores e nos pede para encontrar um conjunto gerador para ele. Isso está relacionado ao estudo dos subespaços vetoriais no . Basicamente, vamos descobrir quais vetores podemos combinar (usando soma e multiplicação por escalar) para “gerar” todos os vetores que satisfazem a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto . Todos os vetores em têm três componentes , mas essas componentes não são independentes; elas estão relacionadas pela equação . Isso significa que, se escolhermos valores para e , o valor de será determinado automaticamente.

Passo 3

Vamos expressar em termos de e :
Agora, podemos reescrever o vetor substituindo :

Passo 4

Agora, vamos separar os termos que envolvem e :
Aqui, estamos expressando qualquer vetor em como uma combinação linear de dois vetores: e .

Passo 5

Isso significa que o conjunto gera o subespaço . Em outras palavras, qualquer vetor que satisfaça pode ser obtido somando múltiplos desses dois vetores.

Resposta

O conjunto gerador para é:

Exercícios relacionados

Dada a transformação linear tal que Encontre a Matriz , onde
Verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do . Não sendo apresente as propriedades que falham.
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
.
  1. Dê um exemplo de três matrizes tal que não é a matriz nula e tenha com .