1. Dê um exemplo de três matrizes tal que não é a matriz nula e tenha com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três matrizes , chamadas , e , onde não é a matriz zero. Além disso, ao multiplicar por e por , o resultado deve ser o mesmo, ou seja, , mesmo que e sejam matrizes diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes nulas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por outra envolve combinar linhas e colunas de uma forma específica. Se queremos que , mas , precisamos que a diferença entre e seja “anulada” pela matriz . Isso significa que deve ter algo que faça com que a diferença resulte em uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz zero.

Passo 3

Vamos escolher uma matriz não nula que tenha pelo menos uma linha de zeros. Por exemplo:
Essa escolha é útil porque, ao multiplicar por outras matrizes, a segunda linha de (que é toda zero) vai “anular” a segunda linha das matrizes e .

Passo 4

Agora, vamos definir duas matrizes diferentes e que só diferem na segunda linha, já que a primeira linha será afetada pela primeira linha de . Por exemplo:
Aqui, e são diferentes porque suas segundas linhas são diferentes ( ou ).

Passo 5

Vamos calcular e para ver se eles são iguais:
Como podemos ver, , mesmo que .

Resposta

Um exemplo é:
onde ou . Com essas matrizes, temos e .

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) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
.
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
  1. Seja a matriz onde
Escreva explicitamente a matriz .
  1. Seja a matriz quadrada de ordem 2 definida por
Escreva explicitamente a matriz .