1. Dê um exemplo de três matrizes 2 times 2, A, B, C tal que A não é a matriz nula e tenha A B=A C com B neq C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três matrizes , chamadas , e , onde não é a matriz zero. Além disso, ao multiplicar por e por , o resultado deve ser o mesmo, ou seja, , mesmo que e sejam matrizes diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes nulas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por outra envolve combinar linhas e colunas de uma forma específica. Se queremos que , mas , precisamos que a diferença entre e seja “anulada” pela matriz . Isso significa que deve ter algo que faça com que a diferença resulte em uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz zero.

Passo 3

Vamos escolher uma matriz A = 1 & 0 0 & 0 não nula que tenha pelo menos uma linha de zeros. Por exemplo:
Essa escolha é útil porque, ao multiplicar por outras matrizes, a segunda linha de (que é toda zero) vai “anular” a segunda linha das matrizes e .

Passo 4

Agora, vamos definir duas matrizes diferentes B = a & b c & d , C = a & b e & f e que só diferem na segunda linha, já que a primeira linha será afetada pela primeira linha de . Por exemplo:
Aqui, e são diferentes porque suas segundas linhas são diferentes ( ou ).

Passo 5

Vamos calcular AB = 1 & 0 0 & 0 a & b c & d = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d = a & b 0 & 0 e AC = 1 & 0 0 & 0 a & b e & f = 1 cdot a + 0 cdot e & 1 cdot b + 0 cdot f 0 cdot a + 0 cdot e & 0 cdot b + 0 cdot f = a & b 0 & 0 para ver se eles são iguais:
a & b 0 & 0
Como podemos ver, , mesmo que .

Resposta

Um exemplo é:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = a & b c & d , C = a & b e & f
onde ou . Com essas matrizes, temos e .

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