Dada a transformação linear T: R^3 R^3 tal que T((x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z) Encontre a Matriz [T]B^B, onde B=(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício de transformação linear e me pediu para encontrar a matriz dessa transformação na base . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, bases e como representar uma transformação linear em uma base específica. Não se preocupa se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar cada um enquanto avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação linear dada: . Isso significa que, para qualquer vetor no espaço , vai transformar esse vetor em outro vetor conforme essa regra.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz da transformação na base . Para fazer isso, vamos seguir estes passos:
  1. Aplicar em cada vetor da base .
  2. Expressar o resultado de cada aplicação como combinação linear dos vetores da base .
  3. Montar a matriz cujas colunas são os coeficientes dessas combinações lineares.
Vamos fazer isso passo a passo!

Passo 4

Aplicando nos vetores da base :
  • Primeiro vetor da base :
  • Segundo vetor da base :
  • Terceiro vetor da base :

Passo 5

Expressando os resultados como combinações lineares dos vetores da base a = 1 b = 1 a + c = 1 :
Queremos encontrar coeficientes a = 0 b = -1 a + c = 1 tais que:
a = 0 b = 0 a + c = -1
Vamos fazer isso para cada imagem de :
  • Para :
    Isso dá o sistema:
    Resolvendo, temos , , e .
  • Para :
    Sistema:
    Resolvendo, , , .
  • Para :
    Sistema:
    Resolvendo, , , .

Passo 6

Montando a matriz [T]B^B = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 :
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das combinações lineares que encontramos:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]B^B = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 na base é:

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