Seja p(x)=9+8 x-19 x^2 e
beta=-2-2 x+4 x^2, 1-5 x^2, 3+2 x-8 x^2
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]beta=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base beta, calcule o valor de c.
(A) 2
(B) -4
© -1
(D) 3
(E) -3
(F) 1
(G) -2
(H) 4
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um polinômio e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. A gente precisa encontrar as coordenadas do polinômio nessa base e, especificamente, calcular o valor de . Para isso, vamos usar a ideia de combinar os vetores da base para chegar no polinômio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever p(x) = a(-2 - 2x + 4x^2) + b(1 - 5x^2) + c(3 + 2x - 8x^2) como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem essa equação.

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
p(x) = (-2a) + (-2a)x + (4a)x^2 + b - 5b x^2 + 3c + 2c x - 8c x^2

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes:
p(x) = (-2a + b + 3c) + (-2a + 2c)x + (4a - 5b - 8c)x^2

Passo 5

Sabemos que -2a + b + 3c = 9 (coeficiente constante) , então podemos igualar os coeficientes de cada termo:
-2a + 2c = 8 (coeficiente de x)
4a - 5b - 8c = -19 (coeficiente de x^2)

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
-2a + 2c = 8 Rightarrow -a + c = 4 Rightarrow a = c - 4
Agora, substituímos -2(c - 4) + b + 3c = 9 Rightarrow -2c + 8 + b + 3c = 9 Rightarrow c + b = 1 Rightarrow b = 1 - c na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos 4(c - 4) - 5(1 - c) - 8c = -19 e 4c - 16 - 5 + 5c - 8c = -19 Rightarrow (4c + 5c - 8c) + (-16 -5) = -19 na terceira equação:
c - 21 = -19 Rightarrow c = 2
Vamos resolver:

Resposta

O valor de é 2.

Exercícios relacionados