) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Temos um subespaço vetorial no espaço . Precisamos determinar um conjunto gerador para esse subespaço. Isso significa encontrar vetores que, combinados de forma adequada, possam gerar qualquer vetor que pertença a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em , um subespaço é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
No caso do conjunto , qualquer vetor nesse conjunto tem a forma , onde é um número real. Vemos que:
  1. Quando , temos o vetor zero , que pertence a .
  2. Se pegarmos dois vetores e em , a soma deles é , que também está em .
  3. Se multiplicarmos um vetor por um escalar , obtemos , que também pertence a .
Portanto, é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 3

Agora, para encontrar um conjunto gerador para , buscamos vetores que possam ser usados para gerar qualquer vetor em através de combinações lineares. Observando a forma dos vetores em , percebemos que qualquer vetor pode ser escrito como .
Isso significa que o vetor é suficiente para gerar todos os vetores em quando multiplicado por diferentes valores de , que são escalares.

Resposta

Um conjunto gerador para é .

Exercícios relacionados

Sejam curvas regulares congruentes, tal que . Prove que existe uma única isometria tal que , exceto quando e neste caso existem exatamente duas.
Verificar se o conjunto é um subespaço do . .
Não sendo apresente as propriedades que falham.
Prove que uma curva regular , cuja curvatura não se anula, tem torção
constante se, e só se,
onde e é uma função vetorial tal que e .
Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe mais de uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, é uma hélice circular.