) Dados os subespaços vetoriais do
ou
, determinar o conjunto gerador
Passo 1
Vamos entender qual é o problema. Temos um subespaço vetorial
no espaço
. Precisamos determinar um conjunto gerador para esse subespaço. Isso significa encontrar vetores que, combinados de forma adequada, possam gerar qualquer vetor que pertença a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em
, um subespaço é um conjunto que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
No caso do conjunto
, qualquer vetor nesse conjunto tem a forma
, onde
é um número real. Vemos que:
- Quando
, temos o vetor zero , que pertence a . - Se pegarmos dois vetores
e em , a soma deles é , que também está em . - Se multiplicarmos um vetor
por um escalar , obtemos , que também pertence a .
Portanto,
é realmente um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Agora, para encontrar um conjunto gerador para
, buscamos vetores que possam ser usados para gerar qualquer vetor em
através de combinações lineares. Observando a forma dos vetores em
, percebemos que qualquer vetor
pode ser escrito como
.
Isso significa que o vetor
é suficiente para gerar todos os vetores em
quando multiplicado por diferentes valores de
, que são escalares.
Resposta
Um conjunto gerador para
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
curvas regulares congruentes, tal que
. Prove que existe uma única isometria
tal que
, exceto quando
e neste caso existem exatamente duas.
Verificar se o conjunto
é um subespaço do
.
.
Não sendo apresente as propriedades que falham.
Não sendo apresente as propriedades que falham.
Prove que uma curva regular
, cuja curvatura não se anula, tem torção
constante se, e só se,
constante
onde
e
é uma função vetorial tal que
e
.
Seja
uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe mais de uma curva
tal que
e
são curvas de Bertrand se, e só se,
é uma hélice circular.