Verificar se o conjunto U é um subespaço do R^3. U=(x, y, z) / y=-x-z.
Não sendo apresente as propriedades que falham.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz três propriedades principais que definem um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em y = -x - z implies 0 = -0 - 0 implies 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se y1 + y2 = -x1 - z1 - x2 - z2 = -(x1 + x2) - (z1 + z2) é fechado em relação à adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que e . Somando as duas equações:
Então, , o que significa que satisfaz a condição de . Portanto, é fechado em relação à adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se cy = -cx - cz é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos um vetor em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Sabemos que . Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que , ou seja, também satisfaz a condição de . Assim, é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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