Verificar se o conjunto
é um subespaço do
.
.
Não sendo apresente as propriedades que falham.
Não sendo apresente as propriedades que falham.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço do
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se
satisfaz três propriedades principais que definem um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado em relação à adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que
e
. Somando as duas equações:
Então,
, o que significa que
satisfaz a condição de
. Portanto,
é fechado em relação à adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Sabemos que
. Multiplicando ambos os lados por
:
Isso mostra que
, ou seja,
também satisfaz a condição de
. Assim,
é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Verificar se os conjuntos são subespaços :
.
Sejam
curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada
, a curvatura e a torção de
e
em
não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é,
, então
e
são congruentes.
Sejam
curvas regulares congruentes, tal que
. Prove que existe uma única isometria
tal que
, exceto quando
e neste caso existem exatamente duas.