Verificar se o conjunto é um subespaço do . .
Não sendo apresente as propriedades que falham.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz três propriedades principais que definem um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado em relação à adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que e . Somando as duas equações:
Então, , o que significa que satisfaz a condição de . Portanto, é fechado em relação à adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos um vetor em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Sabemos que . Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que , ou seja, também satisfaz a condição de . Assim, é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Verificar se os conjuntos são subespaços :
.
Sejam curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada , a curvatura e a torção de e em não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é, , então e são congruentes.
Sejam curvas regulares congruentes, tal que . Prove que existe uma única isometria tal que , exceto quando e neste caso existem exatamente duas.
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador