Prove que uma curva regular , cuja curvatura não se anula, tem torção
constante se, e só se,
onde e é uma função vetorial tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente tem que provar que uma curva regular , com curvatura diferente de zero, tem torção constante , onde , se e somente se ela pode ser expressa na forma:
Aqui, , e é uma função vetorial tal que e .
Vamos precisar usar conceitos de geometria diferencial de curvas, particularmente as fórmulas de Frenet-Serret que relacionam a curvatura e a torção de uma curva com seu sistema de Frenet (os vetores tangente, normal e binormal).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter torção constante . A torção mede o quanto a curva está “girando” no espaço tridimensional, ou seja, quão rápido a curva está saindo do plano determinado pela curvatura.
Para uma curva com torção constante, as equações de Frenet-Serret simplificam, tornando possível expressar a curva de forma mais explícita. Vamos começar assumindo que é constante e mostrar que pode ser escrita conforme a forma dada no enunciado.
Passo 3
As fórmulas de Frenet-Serret são:
Onde:
é o vetor tangente,
é o vetor normal,
é o vetor binormal,
é a curvatura,
é a torção.
Como é constante, depende apenas de , e podemos integrar essas equações para encontrar uma expressão para .
Passo 4
Considerando que , onde é uma constante não nula, podemos integrar as equações de Frenet-Serret para obter os componentes de .
Vamos construir o vetor mencionado no enunciado. Sabemos que , e .
Isso sugere que pode estar relacionado ao vetor normal ou ao binormal . Na verdade, podemos associar ao vetor binormal .
Passo 5
Sabendo que , então:
E, como , temos:
Agora, calculamos o produto vetorial :
Mas sabemos que , então:
Passo 6
Agora, substituindo na expressão da curva :
Como , temos:
Isso mostra que a posição da curva pode ser obtida integrando o vetor tangente .
Passo 7
Finalmente, para provar a implicação contrária (se tem a forma dada, então ), seguimos o mesmo raciocínio inverso.
Assumindo que:
E sabendo que , com e , podemos derivar que a torção é constante e igual a .
Resposta
Portanto, mostramos que uma curva regular , com curvatura não nula, tem torção constante se e somente se pode ser expressa como: