Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe mais de uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, é uma hélice circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se temos uma curva regular α(s) com torção diferente de zero, existem mais de uma curva β que forma uma dupla de Bertrand com α se e somente se α for uma hélice circular. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de Bertrand, hélices circulares e as propriedades de torsão e curvatura das curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de Bertrand. Duas curvas α e β são chamadas de curvas de Bertrand se, para cada ponto correspondente, o vetor normal da curva α coincide com o vetor normal da curva β. Além disso, a distância entre as curvas é constante. Isso implica que existe uma relação linear entre as curvaturas e torsões das duas curvas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre hélices circulares. Uma hélice circular é uma curva no espaço que tem curvatura constante e torsão constante. Isso significa que, em uma hélice, a taxa de mudança da direção da curva (curvatura) e a taxa de mudança da orientação do plano osculador (torsão) são constantes ao longo de toda a curva.

Passo 4

Vamos supor que α é uma hélice circular. Como α tem curvatura e torsão constantes, podemos construir múltiplas curvas β que compartilham a mesma normalidade com α, variando apenas o parâmetro que define o ponto de correspondência ao longo da hélice. Isso nos dá mais de uma curva β que forma uma dupla de Bertrand com α.

Passo 5

Agora, vamos para a outra direção: se existem mais de uma curva β formando uma dupla de Bertrand com α, então α precisa ter curvatura e torsão constantes, ou seja, α deve ser uma hélice circular. Isso porque, se α não for uma hélice circular, a relação entre curvatura e torsão não será constante, o que limita a existência de curvas β múltiplas que possam manter a condição de Bertrand.

Resposta

Portanto, provamos que existe mais de uma curva β tal que α e β são curvas de Bertrand se, e somente se, α é uma hélice circular.

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onde e são funções de e .