Sejam curvas regulares congruentes, tal que . Prove que existe uma única isometria tal que , exceto quando e neste caso existem exatamente duas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas curvas regulares, α e β, que são congruentes, ou seja, uma pode ser transformada na outra por uma isometria no espaço tridimensional. Além disso, para todo ponto dessas curvas, a curvatura é positiva. Nosso objetivo é provar que existe uma única isometria tal que , exceto quando a torsão , caso em que existem exatamente duas isometrias.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma isometria no espaço tridimensional é uma transformação que preserva distâncias, podendo ser rotações, translações ou reflexões. Como as curvas são congruentes, existe pelo menos uma isometria que as mapeia uma na outra.

Passo 3

Como as curvas são regulares e para todo , significa que elas têm uma curvatura bem definida em cada ponto e não são linhas retas. Isso implica que podemos usar o quadro de Frenet para cada curva, que inclui o vetor tangente , o vetor normal e o vetor binormal .

Passo 4

O quadro de Frenet é único até uma rotação ao redor do vetor tangente se a torsão for diferente de zero. Isso porque o vetor binormal é definido como , onde denota o produto vetorial. Se , não há ambiguidades na orientação do quadro de Frenet.

Passo 5

Portanto, se , a isometria que mapeia em deve preservar o quadro de Frenet, ou seja, deve alinhar com , com e com . Como o quadro é único, essa isometria também é única.

Passo 6

Agora, se , isso significa que a curva está completamente contida em um plano (é uma curva plana). Nesse caso, o quadro de Frenet ainda tem e , mas o vetor binormal é constante e perpendicular ao plano da curva.

Passo 7

Com , além da identidade, podemos ter uma reflexão no plano da curva que também mapeia em . Portanto, nesse caso, existem duas isometrias possíveis: a rotação que preserva a orientação e a reflexão que inverte a orientação.

Resposta

Portanto, existe uma única isometria tal que quando a torsão é diferente de zero. Porém, quando , ou seja, quando as curvas são planas, existem exatamente duas isometrias que fazem essa correspondência.

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