Sejam
curvas regulares congruentes, tal que
. Prove que existe uma única isometria
tal que
, exceto quando
e neste caso existem exatamente duas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas curvas regulares, α e β, que são congruentes, ou seja, uma pode ser transformada na outra por uma isometria no espaço tridimensional. Além disso, para todo ponto dessas curvas, a curvatura
é positiva. Nosso objetivo é provar que existe uma única isometria
tal que
, exceto quando a torsão
, caso em que existem exatamente duas isometrias.
Passo 2
Vamos começar lembrando que uma isometria no espaço tridimensional é uma transformação que preserva distâncias, podendo ser rotações, translações ou reflexões. Como as curvas são congruentes, existe pelo menos uma isometria que as mapeia uma na outra.
Passo 3
Como as curvas são regulares e
para todo
, significa que elas têm uma curvatura bem definida em cada ponto e não são linhas retas. Isso implica que podemos usar o quadro de Frenet para cada curva, que inclui o vetor tangente
, o vetor normal
e o vetor binormal
.
Passo 4
O quadro de Frenet é único até uma rotação ao redor do vetor tangente
se a torsão
for diferente de zero. Isso porque o vetor binormal
é definido como
, onde
denota o produto vetorial. Se
, não há ambiguidades na orientação do quadro de Frenet.
Passo 5
Portanto, se
, a isometria que mapeia
em
deve preservar o quadro de Frenet, ou seja, deve alinhar
com
,
com
e
com
. Como o quadro é único, essa isometria
também é única.
Passo 6
Agora, se
, isso significa que a curva está completamente contida em um plano (é uma curva plana). Nesse caso, o quadro de Frenet ainda tem
e
, mas o vetor binormal
é constante e perpendicular ao plano da curva.
Passo 7
Com
, além da identidade, podemos ter uma reflexão no plano da curva que também mapeia
em
. Portanto, nesse caso, existem duas isometrias possíveis: a rotação que preserva a orientação e a reflexão que inverte a orientação.
Resposta
Portanto, existe uma única isometria
tal que
quando a torsão
é diferente de zero. Porém, quando
, ou seja, quando as curvas são planas, existem exatamente duas isometrias que fazem essa correspondência.
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Verificar se o conjunto
é um subespaço do
.
.
Não sendo apresente as propriedades que falham.
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Verificar se os conjuntos são subespaços :
.
Prove que uma curva regular
, cuja curvatura não se anula, tem torção
constante se, e só se,
constante
onde
e
é uma função vetorial tal que
e
.