Verificar se o conjunto V é um subespaço vetorial do R^3 V=(x, y, z) /-x=2 y+3 z+4. Não sendo apresente as propriedades que falham.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar desse vetor também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: Contém o vetor zero. Substituindo -0 = 2(0) + 3(0) + 4 implies 0 = 4 , e na equação , temos:
Isso não é verdade! Ou seja, o vetor zero não está em .

Passo 4

Como a primeira propriedade já não é satisfeita, não precisamos verificar as outras duas. Mas, para entender melhor, vamos ver rapidamente a segunda propriedade.
Para adição, suponha que temos dois vetores -x1 = 2y1 + 3z1 + 4 -x2 = 2y2 + 3z2 + 4 e -(x1 + x2) = 2(y1 + y2) + 3(z1 + z2) + 8 em . Então:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que a soma não satisfaz a condição original, já que aparece um a mais.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição.

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