Expresse
e
como funções de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois calcular
e
no ponto dado
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica super útil em cálculo para derivar funções compostas. Vamos precisar reescrever
em termos de
e
e depois calcular as derivadas no ponto específico
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
e
. Sabemos que:
Substituindo esses valores na função
:
Simplificando
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
e
, vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais. A Regra da Cadeia nos diz que, se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, as derivadas de
em relação a
e
:
Agora, as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 5
Substituindo tudo na Regra da Cadeia:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e nas expressões das derivadas:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular as derivadas no ponto
.
Primeiro, calculamos os valores necessários:
Agora, substituindo na expressão de
:
Agora, para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são:
Exercícios relacionados
Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.