circ Expresse partial fpartial u e partial fpartial v como funções de u e v usando a regra da cadeia e também expressando f diretamente em termos de u e v antes de diferenciar. Depois calcular partial fpartial u e partial fpartial v no ponto dado (u, v).
f(x, y)=4 e^x ln y, x=ln (u cos v), y=u sen v, (u, v)=(2, pi4)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica super útil em cálculo para derivar funções compostas. Vamos precisar reescrever em termos de e e depois calcular as derivadas no ponto específico .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função x = ln(u cos v) em termos de y = u sen v e f(u, v) = 4 e^ln(u cos v) ln(u sen v) . Sabemos que:
f(u, v) = 4 (u cos v) ln(u sen v)
Substituindo esses valores na função :
Simplificando :

Passo 3

Agora que temos partial fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u em termos de partial fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v e , vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais. A Regra da Cadeia nos diz que, se depende de e , que por sua vez dependem de e , então:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, as derivadas de partial fpartial x = 4 e^x ln y em relação a partial fpartial y = 4 e^x cdot 1y e partial xpartial u = 1u cos v cdot cos v = 1u :
partial xpartial v = 1u cos v cdot (-u sen v) = -tan v
partial ypartial u = sen v
Agora, as derivadas de partial ypartial v = u cos v e em relação a e :

Passo 5

Substituindo tudo na Regra da Cadeia:
Para partial fpartial u = 4 e^x ln y cdot 1u + 4 e^x cdot 1y cdot sen v :
Simplificando:
Para partial fpartial u = 4 e^x ln yu + 4 e^x sen vy :
partial fpartial v = 4 e^x ln y cdot (-tan v) + 4 e^x cdot 1y cdot u cos v
Simplificando:
partial fpartial v = -4 e^x ln y tan v + 4 e^x u cos vy

Passo 6

Agora, vamos substituir partial fpartial u = 4 (u cos v) ln(u sen v)u + 4 (u cos v) sen vu sen v e nas expressões das derivadas:
Para partial fpartial u = 4 cos v ln(u sen v) + 4 cos v :
Simplificando:
Para partial fpartial v = -4 (u cos v) ln(u sen v) tan v + 4 (u cos v) u cos vu sen v :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular as derivadas no ponto cos(pi4) = raiz22 .
Primeiro, calculamos os valores necessários:
sen(pi4) = raiz22
tan(pi4) = 1
u sen v = 2 cdot raiz22 = raiz2
Agora, substituindo na expressão de ln(u sen v) = ln(raiz2) = 12 ln 2 :
(cos v)^2 = (raiz22)^2 = 12
partial fpartial u = 4 cdot raiz22 cdot 12 ln 2 + 4 cdot raiz22
partial fpartial u = 2raiz2 cdot 12 ln 2 + 2raiz2
partial fpartial u = raiz2 ln 2 + 2raiz2
Agora, para partial fpartial u = raiz2 (ln 2 + 2) :
partial fpartial v = -4 cdot 2 cdot raiz22 cdot 12 ln 2 cdot 1 + 4 cdot 2 cdot 12raiz22
Simplificando:
partial fpartial v = -4 cdot raiz2 cdot 12 ln 2 + 4 cdot 2 cdot 12raiz22
partial fpartial v = -2raiz2 ln 2 + 4 cdot 1raiz22
partial fpartial v = -2raiz2 ln 2 + 4raiz22 = -2raiz2 ln 2 + 8raiz2
partial fpartial v = -2raiz2 ln 2 + 4raiz2
partial fpartial v = raiz2 (-2 ln 2 + 4)

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial fpartial u = raiz2 (ln 2 + 2) são:
partial fpartial v = raiz2 (-2 ln 2 + 4)

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circ Para cada uma das seguintes funções achar partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=e^2-xy^2
Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + x*y + 3*x + 2*y + 5
Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 2*x^3 + y^3 + 3*x^2 - 3*y - 12*x - 4
Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2 + 3x - 2y + 1)