Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + x*y + 3*x + 2*y + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função e depois classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e e igualar a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (2), temos .

Passo 5

Substituindo na equação (1):
Então, o ponto crítico é .

Passo 6

Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Interpretando o discriminante:
  • Se e , é um mínimo relativo.
  • Se e , é um máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é e ele é um ponto de sela.

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