Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e depois classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
e igualar a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (2), temos
.
Passo 5
Substituindo
na equação (1):
Então, o ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Interpretando o discriminante:
- Se
e , é um mínimo relativo. - Se
e , é um máximo relativo. - Se
, é um ponto de sela.
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico é
e ele é um ponto de sela.