Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 2*x^3 + y^3 + 3*x^2 - 3*y - 12*x - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e depois classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os possíveis pontos críticos.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:

Passo 5

Resolvendo a segunda equação para :
Agora, resolvendo a primeira equação para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou .

Passo 6

Os pontos críticos são então:

Passo 7

Para classificar esses pontos, vamos usar a segunda derivada. Calculamos as derivadas segundas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto:
  1. Ponto (1, 1):
    Como , é um mínimo relativo.
  2. Ponto (1, -1):
    Como , é um ponto de sela.
  3. Ponto (-2, 1):
    Como , é um ponto de sela.
  4. Ponto (-2, -1):
    Como , é um máximo relativo.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • : mínimo relativo
  • : ponto de sela
  • : ponto de sela
  • : máximo relativo

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