Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o cálculo multivariável, mais especificamente as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero. Esses pontos são os candidatos a serem pontos críticos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente e da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:
Passo 6
Observando as equações, o denominador
é sempre positivo, então para a fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero:
Passo 7
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 8
Agora, precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada em funções de duas variáveis. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 9
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 10
No ponto crítico
, substituímos os valores de
e
nas segundas derivadas:
Calculando o determinante
:
Dependendo do valor de
e de
, classificamos o ponto:
- Se
e : mínimo relativo. - Se
e : máximo relativo. - Se
: ponto de sela.
Após os cálculos, constatamos que:
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo relativo da função
.