Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2 + 3x - 2y + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o cálculo multivariável, mais especificamente as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero. Esses pontos são os candidatos a serem pontos críticos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra do quociente e da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:

Passo 6

Observando as equações, o denominador é sempre positivo, então para a fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero:

Passo 7

Então, temos um ponto crítico em .

Passo 8

Agora, precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada em funções de duas variáveis. Calculamos as segundas derivadas parciais:

Passo 9

Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 10

No ponto crítico , substituímos os valores de e nas segundas derivadas:
Calculando o determinante :
Dependendo do valor de e de , classificamos o ponto:
  • Se e : mínimo relativo.
  • Se e : máximo relativo.
  • Se : ponto de sela.
Após os cálculos, constatamos que:

Resposta

O ponto crítico é um mínimo relativo da função .

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