(f o g)(x) = f(g(x)), para todo x pertencente ao dom(f o g) = {x pertencente ao dom(g): g(x) pertencente ao dom(f)}
Para o cálculo de (f o g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, é preciso que y = g(x) esteja no domínio de f, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções f e g do exercício anterior, temos que
(g o f)(x) = g(f(x)) = 2/(f(x) - 7) = 2/(2x^2 - 8 - 7) = 2/(2x^2 - 15), forall x != +- raiz(15/2)
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais que f(x) não está em dom(g) = R \ 7. Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x^2 - 8 = 7. Ainda considerando as funções f e g como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
7a) (f o g) = f(g(x))

Passo 1

Então, a gente tem duas funções e já definidas:
A pergunta quer que a gente encontre a composição e também o domínio dessa função composta. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e determinar onde essa composição está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa que a gente vai substituir na função .
Temos:
Então,

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o domínio da função composta .
Para isso, duas coisas precisam estar ok:
  1. Dominio de : O denominador de não pode ser zero. Então, ou seja, .
  2. Imagem de no domínio de : A função é definida para todos os reais, então não tem restrição adicional aqui.
Então, o único valor que a gente precisa excluir é .

Resposta

A composição é:
E o domínio dessa função é:

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