Encontre uma equação da reta tangente à curva y = e^x / (1 + x^2) no ponto 1, e / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função é uma fração de duas funções, então vamos usar a regra do quociente, que diz:
Onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e :
Substituindo na regra do quociente:

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 0.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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