Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função é uma fração de duas funções, então vamos usar a regra do quociente, que diz:
Onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e :
Substituindo na regra do quociente:

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 0.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Para o cálculo de , calculamos , com . Assim, é preciso que esteja no domínio de , daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções e do exercício anterior, temos que
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais que . Assim, eliminamos todos os valores de reais, tais que . Ainda considerando as funções e como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
7a)
Observe que o domínio da função soma é a intersecção dos domínios de e , pois para somar precisamos calcular e .
Por exemplo, se e são dadas por
então , para todo .
De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções. Neste último caso é importante excluir do domínio os pontos que anulam o denominador.
Para e como acima, determine a expressão e domínio de
6a)
Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado.
.
Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado.
.