$\left.1^{\circ}\right)(2,5 pontos) Um chip, que possui de lado e espessura , é encaixado em um substrato cerâmico. Sua superficie exposta é resfriada por convecção por um liquido iônico com e . Quando desligado, o chip encontrase em equilibrio térmico com o liquido iônico. Contudo, quando o chip é energizado, sua temperatura aumenta até que uma nova condição de regime estacionário seja alcançada. Na análise a seguir, o chip energizado é caracterizado por um aquecimento volumétrico uniforme com . Suponha uma resistência de contato entre o chip e o substrato infinita, determina a temperatura do chip no regime estacionário. Após a ativação do chip, quanto tempo ele leva para atingir uma temperatura de inferior a temperatura do regime estacionário? A densidade e o calor específico do chip são e c = , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transferência de calor passo a passo. A questão fala sobre um chip eletrônico que, quando energizado, aquece devido a um aquecimento volumétrico e precisa ser resfriado por convecção. Nosso objetivo é encontrar a temperatura de equilíbrio do chip no regime estacionário e quanto tempo ele leva para atingir uma temperatura próxima dessa. Para resolver, vamos usar conceitos de condução de calor, convecção e equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a temperatura do chip no regime estacionário. Nesse estado, o calor gerado internamente pelo chip é equilibrado pelo calor removido pela convecção. A fórmula que relaciona esses termos é:
Onde:
  • é o aquecimento volumétrico.
  • é o volume do chip.
  • é o coeficiente de convecção.
  • é a área de superfície exposta.
  • é a temperatura do chip no regime estacionário.
  • é a temperatura do líquido de resfriamento.

Passo 3

Vamos calcular o volume e a área do chip. O chip tem dimensões de e espessura .

Passo 4

Agora, usando a equação do equilíbrio térmico:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos determinar o tempo necessário para o chip atingir uma temperatura que é menor que a temperatura de regime estacionário, ou seja, . Para isso, usamos a equação de resfriamento:
á
Queremos á, então:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
No entanto, isso sugere um tempo infinito, o que não faz sentido físico. Isso ocorre porque, na verdade, buscamos uma aproximação onde á. A equação correta para encontrar o tempo é:
á
Substituindo :

Passo 7

Calculando o expoente:
Então:
Isso indica que, teoricamente, o tempo para atingir exatamente abaixo é infinito. Na prática, consideramos um tempo onde a mudança é suficientemente próxima.

Passo 8

Para encontrar um tempo finito, ajustamos a equação:
áá
Aproximamos:
Assumindo como uma constante pequena, escolhemos para simplificar, então:

Resposta

A temperatura do chip no regime estacionário é aproximadamente e leva cerca de 7 segundos para atingir uma temperatura inferior à temperatura de regime estacionário.

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