) ( 2,5 pontos) Um salsicha comprida
e
, com diâmetro
, inicialmente na temperatura uniforme
, é mergulhada repentinamente em água fervente a
. O coeficiente de transferência de calor entre a água e a superficie é
. A salsicha está cozida quando a temperatura central atinge
. Quanto tempo vai ser preciso para que a temperatura no centro da salsicha atinja
.
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício de transferência de calor envolvendo condução térmica em um objeto com formato cilíndrico. O enunciado nos fornece as seguintes informações:
-
Propriedades do material:
- Difusividade térmica,
- Condutividade térmica,
- Difusividade térmica,
-
Dimensões e condições iniciais:
- Diâmetro da salsicha,
- Temperatura inicial da salsicha,
- Temperatura da água fervente,
- Coeficiente de transferência de calor,
- Diâmetro da salsicha,
-
Objetivo:
- Determinar o tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja
.
- Determinar o tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja
Para resolver este problema, precisamos aplicar os conceitos de condução de calor em materiais, especificamente a análise de transferência de calor em cilindros submetidos a condições transientes. Vamos seguir passo a passo para entender e resolver a questão.
Passo 2
Calculando o Número de Biot (Bi)
Antes de escolher o modelo adequado para resolver o problema, é importante verificar a aplicabilidade do modelo de “capacidade térmica concentrada” (ou modelo lumped). Para isso, calculamos o número de Biot (
), que nos ajuda a determinar se a temperatura é aproximadamente uniforme no interior do objeto.
A fórmula para o número de Biot é:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor, -
é o comprimento característico, -
é a condutividade térmica.
Determinação do Comprimento Característico (
):
Para um cilindro longo, o comprimento característico é dado por:
Onde:
-
é o volume do cilindro, -
é a área superficial.
Como a salsicha é longa, podemos considerar-se um cilindro infinito para simplificar os cálculos. Assim,
Simplificando, o comprimento característico para um cilindro é:
Calculando o Número de Biot:
Como
, isso indica que o modelo de capacidade térmica concentrada não é aplicável. Portanto, devemos utilizar as equações de condução de calor com transferência de calor na superfície.
Passo 3
Aplicando a Equação de Condução de Calor para um Cilindro Longo
Dado que o número de Biot é maior que 0,1, precisamos utilizar a solução para condução de calor transiente em um cilindro infinito. A temperatura em qualquer ponto radial
e tempo
é dada pela série infinita:
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série (
), o que já fornece uma boa aproximação:
No Centro da Salsicha (
):
Substituindo
:
Passo 4
Isolando o Tempo (
) na Equação
Queremos encontrar o tempo
para que a temperatura no centro da salsicha atinja
. Substituímos os valores conhecidos na equação:
Simplificando:
Calculando o lado esquerdo:
Igualando:
Isolando a exponencial:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Isolando
:
Passo 5
Substituindo os Valores e Calculando o Tempo (
)
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Calculando:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Finalmente, calculando
:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja
é de aproximadamente 6,5 minutos.