) ( 2,5 pontos) Um salsicha comprida e , com diâmetro , inicialmente na temperatura uniforme , é mergulhada repentinamente em água fervente a . O coeficiente de transferência de calor entre a água e a superficie é . A salsicha está cozida quando a temperatura central atinge . Quanto tempo vai ser preciso para que a temperatura no centro da salsicha atinja .

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício de transferência de calor envolvendo condução térmica em um objeto com formato cilíndrico. O enunciado nos fornece as seguintes informações:
  • Propriedades do material:
    • Difusividade térmica,
    • Condutividade térmica,
  • Dimensões e condições iniciais:
    • Diâmetro da salsicha,
    • Temperatura inicial da salsicha,
    • Temperatura da água fervente,
    • Coeficiente de transferência de calor,
  • Objetivo:
    • Determinar o tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja .
Para resolver este problema, precisamos aplicar os conceitos de condução de calor em materiais, especificamente a análise de transferência de calor em cilindros submetidos a condições transientes. Vamos seguir passo a passo para entender e resolver a questão.

Passo 2

Calculando o Número de Biot (Bi)
Antes de escolher o modelo adequado para resolver o problema, é importante verificar a aplicabilidade do modelo de “capacidade térmica concentrada” (ou modelo lumped). Para isso, calculamos o número de Biot ( ), que nos ajuda a determinar se a temperatura é aproximadamente uniforme no interior do objeto.
A fórmula para o número de Biot é:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é o comprimento característico,
  • é a condutividade térmica.
Determinação do Comprimento Característico ( ):
Para um cilindro longo, o comprimento característico é dado por:
Onde:
  • é o volume do cilindro,
  • é a área superficial.
Como a salsicha é longa, podemos considerar-se um cilindro infinito para simplificar os cálculos. Assim,
Simplificando, o comprimento característico para um cilindro é:
Calculando o Número de Biot:
Como , isso indica que o modelo de capacidade térmica concentrada não é aplicável. Portanto, devemos utilizar as equações de condução de calor com transferência de calor na superfície.

Passo 3

Aplicando a Equação de Condução de Calor para um Cilindro Longo
Dado que o número de Biot é maior que 0,1, precisamos utilizar a solução para condução de calor transiente em um cilindro infinito. A temperatura em qualquer ponto radial e tempo é dada pela série infinita:
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série ( ), o que já fornece uma boa aproximação:
No Centro da Salsicha ( ):
Substituindo :

Passo 4

Isolando o Tempo ( ) na Equação
Queremos encontrar o tempo para que a temperatura no centro da salsicha atinja . Substituímos os valores conhecidos na equação:
Simplificando:
Calculando o lado esquerdo:
Igualando:
Isolando a exponencial:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Isolando :

Passo 5

Substituindo os Valores e Calculando o Tempo ( )
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Calculando:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Finalmente, calculando :
Convertendo para minutos:

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja é de aproximadamente 6,5 minutos.

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