2^circ ) ( 2,5 pontos) Um salsicha comprida [alpha=1,6 cdot 10^-7 m^2 / s e k=0,5 W /(m ^circ C)], com diâmetro D=2 cm, inicialmente na temperatura uniforme 7^circ C, é mergulhada repentinamente em água fervente a Tinfty=100^circ C. O coeficiente de transferência de calor entre a água e a superficie é h=100 W /(m^2 ^circ C). A salsicha está cozida quando a temperatura central atinge 75^circ C. Quanto tempo vai ser preciso para que a temperatura no centro da salsicha atinja 75^circ C.

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício de transferência de calor envolvendo condução térmica em um objeto com formato cilíndrico. O enunciado nos fornece as seguintes informações:
  • Propriedades do material:
    • Difusividade térmica,
    • Condutividade térmica,
  • Dimensões e condições iniciais:
    • Diâmetro da salsicha,
    • Temperatura inicial da salsicha,
    • Temperatura da água fervente,
    • Coeficiente de transferência de calor,
  • Objetivo:
    • Determinar o tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja .
Para resolver este problema, precisamos aplicar os conceitos de condução de calor em materiais, especificamente a análise de transferência de calor em cilindros submetidos a condições transientes. Vamos seguir passo a passo para entender e resolver a questão.

Passo 2

Calculando o Número de Biot (Bi)
Antes de escolher o modelo adequado para resolver o problema, é importante verificar a aplicabilidade do modelo de “capacidade térmica concentrada” (ou modelo lumped). Para isso, calculamos o número de Biot ( Bi = h Lck ), que nos ajuda a determinar se a temperatura é aproximadamente uniforme no interior do objeto.
A fórmula para o número de Biot é:
Lc = VA
Onde:
  • V = pi (D2)^2 L é o coeficiente de transferência de calor,
  • A = 2pi (D2) L é o comprimento característico,
  • Lc = D4 = 0,024 = 0,005 , m é a condutividade térmica.
Determinação do Comprimento Característico ( Bi = 100 times 0,0050,5 = 1 ):
Para um cilindro longo, o comprimento característico é dado por:
Onde:
  • é o volume do cilindro,
  • é a área superficial.
Como a salsicha é longa, podemos considerar-se um cilindro infinito para simplificar os cálculos. Assim,
Simplificando, o comprimento característico para um cilindro é:
Calculando o Número de Biot:
Como , isso indica que o modelo de capacidade térmica concentrada não é aplicável. Portanto, devemos utilizar as equações de condução de calor com transferência de calor na superfície.

Passo 3

Aplicando a Equação de Condução de Calor para um Cilindro Longo
Dado que o número de Biot é maior que 0,1, precisamos utilizar a solução para condução de calor transiente em um cilindro infinito. A temperatura em qualquer ponto radial T(r,t) - TinftyTinicial - Tinfty = 4 sumn=0^infty 1(2n+1)pi exp(-(2n+1)^2 pi^2 alpha t4 (D2)^2) e tempo T(r,t) - TinftyTinicial - Tinfty approx 4pi exp(-pi^2 alpha tD^2) é dada pela série infinita:
Tcentro(t) - TinftyTinicial - Tinfty approx 4pi exp(-pi^2 alpha tD^2)
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série ( ), o que já fornece uma boa aproximação:
No Centro da Salsicha ( ):
Substituindo :

Passo 4

Isolando o Tempo ( 75 - 1007 - 100 approx 4pi exp(-pi^2 alpha tD^2) ) na Equação
Queremos encontrar o tempo -25-93 = 2593 approx 4pi exp(-pi^2 alpha tD^2) para que a temperatura no centro da salsicha atinja 2593 approx 0,2688 . Substituímos os valores conhecidos na equação:
0,2688 approx 4pi exp(-pi^2 alpha tD^2)
Simplificando:
exp(-pi^2 alpha tD^2) approx 0,2688 pi4 approx 0,2113
Calculando o lado esquerdo:
-pi^2 alpha tD^2 = ln(0,2113)
Igualando:
ln(0,2113) approx -1,55
Isolando a exponencial:
t = D^2 ln(10,2113)pi^2 alpha = D^2 times 1,55pi^2 alpha
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Isolando :

Passo 5

Substituindo os Valores e Calculando o Tempo ( D = 0,02 , m )
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
alpha = 1,6 times 10^-7 , m^2/s
pi approx 3,1416
t = (0,02)^2 times 1,55(3,1416)^2 times 1,6 times 10^-7
Calculando:
(0,02)^2 = 0,0004 , m^2
Primeiro, calculamos o numerador:
0,0004 times 1,55 = 0,00062 , m^2 cdot s^-1
(3,1416)^2 = 9,8696
Agora, o denominador:
9,8696 times 1,6 times 10^-7 = 1,5791 times 10^-6 , W/(m cdot ^circC)
t = 0,000621,5791 times 10^-6 approx 392,6 , s
Finalmente, calculando 392,6 , s div 60 approx 6,54 , minutos :
Convertendo para minutos:

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura no centro da salsicha atinja é de aproximadamente 6,5 minutos.

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