pontos) Uma placa de espessura tem uma dístribuição ínícial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em é conservada à temperatura zero Celsius.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo na placa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma placa com espessura onde a temperatura inicial varia conforme . No tempo inicial (), a superfície em está isolada (não troca calor) e a superfície em está mantida a 0°C. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura ao longo do tempo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor unidimensional e aplicar métodos de separação de variáveis e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo:
Aqui, é a difusividade térmica do material da placa.
Passo 3
Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Passo 4
Substituímos na equação de condução de calor:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito depende apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante negativa, que chamamos de .
Passo 5
Isso nos leva a duas equações separadas:
Para :
Para :
Passo 6
Resolvendo a equação para :
A solução geral é:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar , e .
Primeira condição em : superfície isolada, o que significa que a derivada da temperatura em relação a é zero:
Calculando a derivada de X(x):
dXdx = -A raizlambda sin(raizlambda x) + B raizlambda cos(raizlambda x)
Aplicando x=0:
0 = -A raizlambda cdot 0 + B raizlambda cdot 1 Rightarrow B = 0
Então, a solução para X(x) fica:
X(x) = A cos(raizlambda x)
Passo 8
Segunda condição em x=L: temperatura é zero.
T(L, t) = 0 Rightarrow X(L) cdot Theta(t) = 0
Como Theta(t) neq 0, precisamos que X(L) = 0:
A cos(raizlambda L) = 0
Para que isso ocorra, cos(raizlambda L) = 0, o que acontece quando:
raizlambda L = pi2, 3pi2, 5pi2, dots
Logo,
raizlambdan = (2n-1)pi2L, n=1,2,3,dots
Então,
lambdan = ((2n-1)pi2L)^2
Passo 9
Agora, resolvemos a equação para Theta(t):
dThetan(t)dt = -lambdan alpha Thetan(t)
A solução é:
Thetan(t) = Cn e^-lambdan alpha t
Passo 10
Combinando X(x) e Theta(t), a solução para cada modo n é:
Tn(x, t) = An cos((2n-1)pi x2L) e^-((2n-1)pi2L)^2 alpha t
Passo 11
A solução geral é a soma de todos os modos possíveis:
T(x, t) = sumn=1^infty An cos((2n-1)pi x2L) e^-((2n-1)pi2L)^2 alpha t
Passo 12
Para determinar os coeficientes An, utilizamos a condição inicial T(x, 0) = T0 cos(pi x2L).