4^circ)(2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma dístribuição ínícial de temperatura Ti=T0 cos [(pi x) / 2 L]. Em triang<=right 0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L é conservada à temperatura zero Celsius.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo T(x, t) na placa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma placa com espessura L onde a temperatura inicial varia conforme Ti = T0 cos(pi x2L). No tempo inicial ( t=0), a superfície em x=0 está isolada (não troca calor) e a superfície em x=L está mantida a 0°C. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura ao longo do tempo, ou seja, T(x, t). Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor unidimensional e aplicar métodos de separação de variáveis e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, alpha é a difusividade térmica do material da placa.

Passo 3

Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como produto de uma função que depende apenas de x e outra que depende apenas de t:
T(x, t) = X(x) cdot Theta(t)

Passo 4

Substituímos T(x, t) na equação de condução de calor:
X(x) cdot dTheta(t)dt = alpha Theta(t) cdot d^2 X(x)dx^2
Dividindo ambos os lados por X(x) cdot Theta(t), temos:
1Theta(t) dTheta(t)dt = alpha 1X(x) d^2 X(x)dx^2
Como o lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito depende apenas de x, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, que chamamos de -lambda.

Passo 5

Isso nos leva a duas equações separadas:
  1. Para Theta(t):
dTheta(t)dt = -lambda alpha Theta(t)
  1. Para X(x):
d^2 X(x)dx^2 + lambda X(x) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação para X(x):
A solução geral é:
X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x)

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar A, B e lambda.
Primeira condição em x=0: superfície isolada, o que significa que a derivada da temperatura em relação a x é zero:
dTdx|x=0 = 0 Rightarrow dXdx|x=0 = 0
Calculando a derivada de X(x):
dXdx = -A raizlambda sin(raizlambda x) + B raizlambda cos(raizlambda x)
Aplicando x=0:
0 = -A raizlambda cdot 0 + B raizlambda cdot 1 Rightarrow B = 0
Então, a solução para X(x) fica:
X(x) = A cos(raizlambda x)

Passo 8

Segunda condição em x=L: temperatura é zero.
T(L, t) = 0 Rightarrow X(L) cdot Theta(t) = 0
Como Theta(t) neq 0, precisamos que X(L) = 0:
A cos(raizlambda L) = 0
Para que isso ocorra, cos(raizlambda L) = 0, o que acontece quando:
raizlambda L = pi2, 3pi2, 5pi2, dots
Logo,
raizlambdan = (2n-1)pi2L, n=1,2,3,dots
Então,
lambdan = ((2n-1)pi2L)^2

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para Theta(t):
dThetan(t)dt = -lambdan alpha Thetan(t)
A solução é:
Thetan(t) = Cn e^-lambdan alpha t

Passo 10

Combinando X(x) e Theta(t), a solução para cada modo n é:
Tn(x, t) = An cos((2n-1)pi x2L) e^-((2n-1)pi2L)^2 alpha t

Passo 11

A solução geral é a soma de todos os modos possíveis:
T(x, t) = sumn=1^infty An cos((2n-1)pi x2L) e^-((2n-1)pi2L)^2 alpha t

Passo 12

Para determinar os coeficientes An, utilizamos a condição inicial T(x, 0) = T0 cos(pi x2L).
Comparando com a solução geral em t=0:
T(x, 0) = sumn=1^infty An cos((2n-1)pi x2L) = T0 cos(pi x2L)
Isso implica que apenas para n=1, A1 = T0, e todos os demais An = 0.

Resposta

A distribuição de temperatura na placa ao longo do tempo é dada por:
T(x, t) = T0 cos(pi x2L) e^-(pi2L)^2 alpha t

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