pontos) Uma placa de espessura tem uma dístribuição ínícial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em é conservada à temperatura zero Celsius.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo na placa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma placa com espessura onde a temperatura inicial varia conforme . No tempo inicial ( ), a superfície em está isolada (não troca calor) e a superfície em está mantida a 0°C. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura ao longo do tempo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor unidimensional e aplicar métodos de separação de variáveis e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo:
Aqui, é a difusividade térmica do material da placa.

Passo 3

Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :

Passo 4

Substituímos na equação de condução de calor:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito depende apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante negativa, que chamamos de .

Passo 5

Isso nos leva a duas equações separadas:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Resolvendo a equação para :
A solução geral é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar , e .
Primeira condição em : superfície isolada, o que significa que a derivada da temperatura em relação a é zero:
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Então, a solução para fica:

Passo 8

Segunda condição em : temperatura é zero.
Como , precisamos que :
Para que isso ocorra, , o que acontece quando:
Logo,
Então,

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para :
A solução é:

Passo 10

Combinando e , a solução para cada modo é:

Passo 11

A solução geral é a soma de todos os modos possíveis:

Passo 12

Para determinar os coeficientes , utilizamos a condição inicial .
Comparando com a solução geral em :
Isso implica que apenas para , , e todos os demais .

Resposta

A distribuição de temperatura na placa ao longo do tempo é dada por:

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