Tubos longos de cobre ( rho=8960 kg / m^3, cp=365 J /(kg K ); k=400 W /(m K )) com 20 mm de diâmetro são retirados do interior de um forno industrial a uma temperatura uniforme de 920 ^circ C. Os tubos devem ser resfriados em uma corrente de água a 15^circ C com escoamento cruzado em velocidade de 0,5 m / s, visando reduzir a temperatura na superfície para 150^circ C. Pede-se:
(a) Esquematize o problema indicando dados e variáveis relevantes e especifique as considerações adotadas;
(b) Obtenha o coeficiente convectivo de transferência de calor para o processo de resfriamento;
© Estime o tempo necessário para a redução de temperatura desejada.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre tubos de cobre que estão super quentes, saindo de um forno a 920°C, e queremos resfriá-los usando água fria a 15°C. Precisamos entender como isso acontece usando conceitos de transferência de calor. Vamos precisar das propriedades do cobre e da água, além de entender como o calor é transferido por convecção.

Passo 2

Parte (a): Esquematização do problema
Primeiro, vamos desenhar o cenário:
  • Temos tubos de cobre de 20 mm de diâmetro.
  • Esses tubos estão saindo de um forno a 920°C.
  • Queremos resfriá-los até 150°C.
  • A água usada para o resfriamento está a 15°C e flui a 0,5 m/s.
Variáveis relevantes:
  • Diâmetro do tubo, m
  • Temperatura inicial do tubo,
  • Temperatura final desejada,
  • Temperatura da água,
  • Velocidade da água, m/s
  • Propriedades do cobre:
    • Densidade, kg/m³
    • Calor específico, J/(kg·K)
    • Condutividade térmica, W/(m·K)
Considerações adotadas:
  • Transferência de calor ocorre apenas por convecção na superfície do tubo.
  • A temperatura do forno é uniforme.
  • A fluidez da água é constante e uniforme (escoamento cruzado).

Passo 3

Parte (b): Obtendo o coeficiente convectivo de transferência de calor
Para encontrar o coeficiente convectivo, vamos usar a correlação de Nusselt para escoamento laminar ou turbulento, dependendo do número de Reynolds. Primeiro, calculamos o número de Reynolds ( Re = rho v Dmu ):
Re = 8960 times 0,5 times 0,020,00114 approx 78421
Mas precisamos da viscosidade dinâmica ( Nu = 0,023 Re^0,8 Pr^0,4 ) da água. Supondo que a água está a 15°C, a viscosidade é aproximadamente Pr = cp muk Pa·s.
Pr = 4182 times 0,001140,6 approx 7,95
Como Nu = 0,023 times (78421)^0,8 times (7,95)^0,4 , o escoamento é turbulento. Usamos a correlação de Dittus-Boelter para escoamento turbulento:
Nu approx 0,023 times 15805 times 2,0 approx 727
Primeiro, calculamos o número de Prandtl ( h = Nu times káguaD ):
h = 727 times 0,60,02 = 436,20,02 = 21810 W/(m^2·K)
Usando:
  • da água ≈ 4182 J/(kg·K)
  • da água ≈ 0,6 W/(m·K)
Agora, calculamos :
Calculando passo a passo:
Agora, o coeficiente convectivo ( ) é:
á

Passo 4

Parte ©: Estimando o tempo necessário para a redução de temperatura
Vamos usar a equação de resfriamento de Newton:
Q = h A (Tsuperfície - Tinfty) = m cp Deí
Mas precisamos relacionar com o tempo. A equação diferencial é:
dTdt = -h Am cp (T - Tinfty)
Resolvendo essa equação, temos:
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) e^-h Am cp t
Queremos encontrar A = pi D L tal que m = rho A L = rho pi (D2)^2 L .
Primeiro, calculamos a área de superfície dos tubos. Supondo um comprimento h Am cp = h pi D Lrho pi (D2)^2 L cp = 4 hrho D cp , que vai se cancelar na equação final, consideramos por unidade de comprimento.
Área por metro de comprimento:
150 = 15 + (920 - 15) e^-4 hrho D cp t
Massa por metro de comprimento:
135 = 905 e^-4 times 218108960 times 0,02 times 365 t
Substituindo:
4 times 218108960 times 0,02 times 365 approx 87240654,4 approx 133,3
Agora, rearranjando a equação para 135905 = e^-133,3 t :
ln(135905) = -133,3 t
t = -ln(135/905)133,3 approx -ln(0,1492)133,3 approx --1,899133,3 approx 0,0142 segundos
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

O tempo necessário para reduzir a temperatura dos tubos de cobre de 920°C para 150°C é aproximadamente 0,014 segundos.

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