Uma placa plana delgada, de comprimento e largura , é instalada em um túnel de água como uma divisora de fluxo. A velocidade da corrente livre é e o perfil de velocidade na camada-limite é aproximadamente parabólico. Plote, no mesmo gráfico, versus .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa plana fina com comprimento e largura , instalada em um túnel de água como um divisor de fluxo. A velocidade da corrente livre é e o perfil de velocidade na camada-limite é aproximadamente parabólico. A gente precisa plotar, no mesmo gráfico, as funções (espessura da camada-limite), (espessura de deslocamento) e (tensão de cisalhamento na parede) em função de , onde é a distância ao longo da placa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente sobre camadas-limites em fluxo laminar sobre uma placa plana. Vamos precisar das fórmulas que descrevem , e para uma camada-limite parabólica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a camada-limite. Quando um fluido flui sobre uma superfície sólida, como nossa placa, uma camada de fluido perto da superfície é afetada pela viscosidade, criando um gradiente de velocidade. A espessura dessa camada é .
Para um fluxo laminar sobre uma placa plana, a espessura da camada-limite pode ser estimada pela fórmula:
onde é o número de Reynolds local, é a velocidade do fluxo livre, é a posição ao longo da placa, e é a viscosidade cinemática da água.

Passo 3

A espessura de deslocamento representa a redução efetiva da área de fluxo devido à presença da camada-limite. Para um perfil parabólico, a expressão é:
Essa relação simplifica o cálculo, já que sabemos como varia com .

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento na parede . Para um perfil parabólico, a tensão de cisalhamento é dada por:
Para um perfil parabólico, isso resulta em:
onde é a viscosidade dinâmica da água.

Passo 5

Vamos resumir as fórmulas que teremos:

Passo 6

Para plotar , e em função de , precisamos expressar essas grandezas em termos de . Vamos definir , então .
Substituindo na expressão de :
E então:
Simplificando, temos:
Da mesma forma:
E para :

Passo 7

Agora, precisamos calcular esses valores para diferentes valores de (de 0 a 1) e então plotar , e no mesmo gráfico.
Primeiro, vamos assumir alguns valores para as propriedades da água:
  • Viscosidade cinemática
  • Viscosidade dinâmica , onde é a densidade da água ( )
Substituindo esses valores nas fórmulas, podemos calcular , e para uma gama de de 0 a 1.

Passo 8

Finalmente, utilizando um software como Python com bibliotecas como Matplotlib, ou até mesmo uma planilha de Excel, podemos plotar os três gráficos no mesmo eixo, com no eixo x e as três funções no eixo y. Cada função terá sua própria cor e legenda para facilitar a visualização.

Resposta

Depois de seguir os passos acima, você terá um gráfico mostrando como a espessura da camada-limite , a espessura de deslocamento e a tensão de cisalhamento na parede variam ao longo da placa, em função de .

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