Questão ( 2,0 pontos)
Um tubo de aço com diâmetro externo de 100 mm envolve um tubo de cobre com diâmetro externo de 80 mm e o interno de 60 mm , ambos os tubos têm o mesmo comprimento. O conjunto sofre uma carga de compressão de 1335 kN aplicada no centro de uma chapa rigida de aço concêntrica aos tubos. Determine as tensões normais no tubo de aço e no tubo de cobre.
Um tubo de aço com diâmetro externo de 100 mm envolve um tubo de cobre com diâmetro externo de 80 mm e o interno de 60 mm , ambos os tubos têm o mesmo comprimento. O conjunto sofre uma carga de compressão de 1335 kN aplicada no centro de uma chapa rigida de aço concêntrica aos tubos. Determine as tensões normais no tubo de aço e no tubo de cobre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois tubos, um de aço e outro de cobre, empilhados um dentro do outro, e uma carga de compressão está sendo aplicada no meio. A matéria envolvida aqui é de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre esforços normais em elementos compostos. Para resolver, vamos precisar calcular as áreas dos tubos e usar o conceito de compatibilidade de deformações para descobrir como a carga se distribui entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as áreas de cada tubo. Como os tubos são ocos, a área é a diferença entre a área externa e a interna.
-
Área do tubo de aço (A_aco):A diametro externo é 100 mm, então o raio externo é 50 mm. Como ele envolve o tubo de cobre sem espaço, o raio interno do aço é o mesmo que o externo do cobre, ou seja, 40 mm.
-
Área do tubo de cobre (A_cobre):O diâmetro externo é 80 mm e o interno é 60 mm, então os raios são 40 mm e 30 mm, respectivamente.
Vamos calcular essas áreas:
Passo 3
Agora, vamos usar o conceito de compatibilidade de deformações. A ideia é que, como os tubos estão empilhados e ligados, eles devem ter a mesma deformação quando a carga é aplicada. A deformação (ou compressão) é dada por:
Onde:
-
é a força aplicada, -
é o comprimento (que é o mesmo para ambos), -
é a área, -
é o módulo de elasticidade.
Como
, temos:
Além disso, sabemos que a carga total
.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos nas equações. Primeiro, rearranjamos a equação de compatibilidade para relacionar
e
:
Sabendo que
, substituímos
:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
E para
:
Passo 5
Agora que temos as forças em cada tubo, podemos calcular as tensões normais usando
.
- Tensão no tubo de aço (σ_aco):
- Tensão no tubo de cobre (σ_cobre):
Resposta
A tensão normal no tubo de aço é aproximadamente
e no tubo de cobre é aproximadamente
.
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Dados: ;
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