3^circ Questão ( 2,0 pontos)
Um tubo de aço com diâmetro externo de 100 mm envolve um tubo de cobre com diâmetro externo de 80 mm e o interno de 60 mm , ambos os tubos têm o mesmo comprimento. O conjunto sofre uma carga de compressão de 1335 kN aplicada no centro de uma chapa rigida de aço concêntrica aos tubos. Determine as tensões normais no tubo de aço e no tubo de cobre.
l FA C O=220 GP3 EcoB A E=105 GP3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois tubos, um de aço e outro de cobre, empilhados um dentro do outro, e uma carga de compressão está sendo aplicada no meio. A matéria envolvida aqui é de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre esforços normais em elementos compostos. Para resolver, vamos precisar calcular as áreas dos tubos e usar o conceito de compatibilidade de deformações para descobrir como a carga se distribui entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas de cada tubo. Como os tubos são ocos, a área é a diferença entre a área externa e a interna.
  • Área do tubo de aço (A_aco):
    A diametro externo é 100 mm, então o raio externo é 50 mm. Como ele envolve o tubo de cobre sem espaço, o raio interno do aço é o mesmo que o externo do cobre, ou seja, 40 mm.
    Aaco = pi ( Rext^2 - Rint^2 ) = pi (50^2 - 40^2) , mm^2
  • Área do tubo de cobre (A_cobre):
    O diâmetro externo é 80 mm e o interno é 60 mm, então os raios são 40 mm e 30 mm, respectivamente.
    Acobre = pi (40^2 - 30^2) , mm^2
Vamos calcular essas áreas:
Aaco = pi (2500 - 1600) = pi times 900 approx 2827 , mm^2
Acobre = pi (1600 - 900) = pi times 700 approx 2199 , mm^2

Passo 3

Agora, vamos usar o conceito de compatibilidade de deformações. A ideia é que, como os tubos estão empilhados e ligados, eles devem ter a mesma deformação quando a carga é aplicada. A deformação (ou compressão) é dada por:
de
Onde:
  • FacoAaco times Eaco = FcobreAcobre times Ecobre é a força aplicada,
  • é o comprimento (que é o mesmo para ambos),
  • é a área,
  • é o módulo de elasticidade.
Como , temos:
Além disso, sabemos que a carga total .

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos nas equações. Primeiro, rearranjamos a equação de compatibilidade para relacionar Fcobre = Faco times Acobre times EcobreAaco times Eaco e Faco + Faco times Acobre times EcobreAaco times Eaco = 1335 :
Faco (1 + Acobre times EcobreAaco times Eaco) = 1335
Sabendo que Faco = 13351 + Acobre times EcobreAaco times Eaco , substituímos Faco = 13351 + 2199 times 1052827 times 220 :
2199 times 1052827 times 220 approx 230895622, 940 approx 0,371
Fatorando Faco = 13351 + 0,371 = 13351,371 approx 974,6 , kN :
Fcobre = 1335 - 974,6 approx 360,4 , kN
Agora, isolamos :
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
E para :

Passo 5

Agora que temos as forças em cada tubo, podemos calcular as tensões normais usando sigmaaco = 974,6 times 10^3 , N2827 , mm^2 approx 344,5 , MPa .
  • Tensão no tubo de aço (σ_aco):
sigmacobre = 360,4 times 10^3 , N2199 , mm^2 approx 163,9 , MPa
  • Tensão no tubo de cobre (σ_cobre):

Resposta

A tensão normal no tubo de aço é aproximadamente e no tubo de cobre é aproximadamente .

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