Questão ( 2,0 pontos)
Um tubo de aço com diâmetro externo de 100 mm envolve um tubo de cobre com diâmetro externo de 80 mm e o interno de 60 mm , ambos os tubos têm o mesmo comprimento. O conjunto sofre uma carga de compressão de 1335 kN aplicada no centro de uma chapa rigida de aço concêntrica aos tubos. Determine as tensões normais no tubo de aço e no tubo de cobre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois tubos, um de aço e outro de cobre, empilhados um dentro do outro, e uma carga de compressão está sendo aplicada no meio. A matéria envolvida aqui é de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre esforços normais em elementos compostos. Para resolver, vamos precisar calcular as áreas dos tubos e usar o conceito de compatibilidade de deformações para descobrir como a carga se distribui entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas de cada tubo. Como os tubos são ocos, a área é a diferença entre a área externa e a interna.
  • Área do tubo de aço (A_aco):
    A diametro externo é 100 mm, então o raio externo é 50 mm. Como ele envolve o tubo de cobre sem espaço, o raio interno do aço é o mesmo que o externo do cobre, ou seja, 40 mm.
  • Área do tubo de cobre (A_cobre):
    O diâmetro externo é 80 mm e o interno é 60 mm, então os raios são 40 mm e 30 mm, respectivamente.
Vamos calcular essas áreas:

Passo 3

Agora, vamos usar o conceito de compatibilidade de deformações. A ideia é que, como os tubos estão empilhados e ligados, eles devem ter a mesma deformação quando a carga é aplicada. A deformação (ou compressão) é dada por:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é o comprimento (que é o mesmo para ambos),
  • é a área,
  • é o módulo de elasticidade.
Como , temos:
Além disso, sabemos que a carga total .

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos nas equações. Primeiro, rearranjamos a equação de compatibilidade para relacionar e :
Sabendo que , substituímos :
Fatorando :
Agora, isolamos :
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
E para :

Passo 5

Agora que temos as forças em cada tubo, podemos calcular as tensões normais usando .
  • Tensão no tubo de aço (σ_aco):
  • Tensão no tubo de cobre (σ_cobre):

Resposta

A tensão normal no tubo de aço é aproximadamente e no tubo de cobre é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Qual a relação da torção com cisalhamento de elementos?
O eixo de aço tem uma massa de 650 KG e está suspenso por um cabo vertical em Ae por um segundo cabo em que passa por baixo do eixo e está situado em um plano vertical transversal. Calcule a força T1 e T2 dos cabos.
(3 pontos) Para a estrutura abaixo, calcule os esforços internos atuantes nas seções S1 e S2.
Dados: ;