Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o(s) ponto(s) da curva
mais próximo(s) da origem.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O problema pede para encontrarmos os pontos na curva
que estão mais próximos da origem. Isso envolve otimização com restrição, ou seja, queremos minimizar a distância da origem até um ponto na curva dada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização, derivadas e, claro, o Método de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto
até a origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como queremos minimizar
, podemos simplificar nosso trabalho minimizando
em vez de
, pois a raiz quadrada é uma função crescente e a minimização de
vai nos dar o mesmo ponto que minimiza
.
Passo 3
Então, nossa função a ser minimizada é:
E a restrição que temos é a curva dada:
O Método dos Multiplicadores de Lagrange nos ajuda a encontrar os extremos de
sujeitos à restrição
.
Passo 4
Segundo o Método de Lagrange, introduzimos um multiplicador
e definimos a função Lagrangiana:
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
,
e
são iguais a zero.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
A partir dessas equações, vamos resolver para
,
e
.
Passo 6
Da equação (3), temos:
Agora, vamos resolver as equações (1) e (2). Podemos expressar
de ambas:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando:
Então, temos duas possibilidades:
ou
.
Passo 7
Vamos considerar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação (4):
Então, os pontos são
e
.
Caso 2:
Substituindo na equação (4):
Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.
Resposta
Os pontos na curva
mais próximos da origem são
e
.
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.
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.
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(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine e
. Siga as instruções anteriores, se
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine
encontre o vetor curvatura e a curvatura em qualquer
.