Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o(s) ponto(s) da curva x y = 1 mais próximo(s) da origem.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O problema pede para encontrarmos os pontos na curva que estão mais próximos da origem. Isso envolve otimização com restrição, ou seja, queremos minimizar a distância da origem até um ponto na curva dada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização, derivadas e, claro, o Método de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto até a origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como queremos minimizar , podemos simplificar nosso trabalho minimizando em vez de , pois a raiz quadrada é uma função crescente e a minimização de vai nos dar o mesmo ponto que minimiza .

Passo 3

Então, nossa função a ser minimizada é:
E a restrição que temos é a curva dada:
O Método dos Multiplicadores de Lagrange nos ajuda a encontrar os extremos de sujeitos à restrição .

Passo 4

Segundo o Método de Lagrange, introduzimos um multiplicador e definimos a função Lagrangiana:
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais de em relação a , e são iguais a zero.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
A partir dessas equações, vamos resolver para , e .

Passo 6

Da equação (3), temos:
Agora, vamos resolver as equações (1) e (2). Podemos expressar de ambas:
Igualando as duas expressões para :
Simplificando:
Então, temos duas possibilidades: ou .

Passo 7

Vamos considerar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação (4):
Então, os pontos são e .
Caso 2:
Substituindo na equação (4):
Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.

Resposta

Os pontos na curva mais próximos da origem são e .

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