Dada a curva descrita pelas equações paramétricas
encontre
e
. Faça um esboço de uma parte da curva em
e trace as representações de
e
tendo como ponto inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva descrita por equações paramétricas:
O que precisamos encontrar são os vetores tangente
e normal
para essa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções
e
em relação a
. Isso nos dará a velocidade na curva, ou seja, o vetor tangente antes de normalizá-lo.
Passo 3
Agora, o vetor tangente não normalizado é dado por:
Para obter o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar
. Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude.
Passo 4
Calculamos a magnitude de
:
Podemos simplificar:
Passo 5
Agora, encontramos o vetor tangente unitário
:
Passo 6
Para encontrar o vetor normal unitário
, primeiro precisamos derivar
em relação a
e então normalizar esse vetor.
Vamos derivar cada componente de
:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Passo 7
Assim, o vetor derivado de
é:
A magnitude de
é:
Simplificando:
Então,
Passo 8
Agora, o vetor normal unitário
é dado por:
Passo 9
Agora que temos
e
, vamos especificar para
:
Resposta
Os vetores tangente e normal são:
Para
, temos:
Exercícios relacionados
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
d) .
d)
Encontre a distância percorrida por um percevejo em um pneu de bicicleta se o raio do pneu for 50 cm e a bicicleta percorrer uma distância de
. (Sugestão: a trajetória do percevejo é uma ciclóide.)
Encontre o vetor tangente unitário à curva tendo equação vetorial
no ponto onde
.
Seja
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação , quando se passa de
e
para
1,01 e
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação