Encontre o vetor tangente unitário à curva tendo equação vetorial
no ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário à curva definida pela equação vetorial
no ponto onde
. Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente em vetores tangentes e normalização de vetores. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar o vetor tangente e depois transformar esse vetor em um vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente à curva.
Vamos derivar cada componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada da função vetorial é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar o vetor tangente naquele ponto.
Primeiro, precisamos lembrar que:
Substituindo
na expressão de
:
Então, o vetor tangente no ponto
é:
Passo 4
Agora, precisamos transformar esse vetor tangente em um vetor unitário. Para isso, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude (comprimento).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Resposta
O vetor tangente unitário à curva no ponto onde
é:
Exercícios relacionados
encontre
e
. Faça um esboço de uma parte da curva em
e trace as representações de
e
tendo como ponto inicial
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
d) .
d)
Seja
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação , quando se passa de
e
para
1,01 e
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em
.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura .
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura