Encontre o vetor tangente unitário à curva tendo equação vetorial sigma(t) = 4 cosh(2t) i + 4 senh(2t) j + 6t k no ponto onde t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário à curva definida pela equação vetorial no ponto onde . Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente em vetores tangentes e normalização de vetores. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar o vetor tangente e depois transformar esse vetor em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial sigma(t) em relação a t. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente à curva.
Vamos derivar cada componente:
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
Então, a derivada da função vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar o vetor tangente naquele ponto.
Primeiro, precisamos lembrar que:
Substituindo na expressão de :
Então, o vetor tangente no ponto é:

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor tangente em um vetor unitário. Para isso, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude (comprimento).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto onde é:

Exercícios relacionados

circledast Dada a curva descrita pelas equações paramétricas
x = t^3 - 3t e y = 3t^2
encontre T(t) e N(t). Faça um esboço de uma parte da curva em t = 2 e trace as representações de T(2) e N(2) tendo como ponto inicial t = 2.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
d) f(x, y) = x * e^x^2 - y^2 em (2, 2, f(2, 2)).
Seja z = x * e * (x^2 - y^2).
a) Calcule um valor aproximado para a variação Delta z emz, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002.
circledast Dado que uma equação vetorial de uma curva C é
sigma(t) = 2t i + (t^2 - 1) j
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em t = 1.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura em t = 1.