Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção entre o cone
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone definido pela equação e um plano definido por . Queremos encontrar uma função vetorial que descreva a curva onde esses dois conjuntos se intersectam.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e sistema de equações para encontrar as coordenadas , e que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 2
Vamos começar igualando as duas expressões para , já que na interseção, os valores de devem ser os mesmos para ambos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e .
Passo 3
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a equação subtraindo de ambos os lados:
Essa é a relação entre e na curva de interseção.
Passo 5
Vamos parametrizear em termos de um parâmetro . Vamos escolher . Então, a partir da equação , temos:
ou
Para simplificar, vamos considerar apenas .
Passo 6
Agora, sabemos que , então substituindo :
Passo 7
Agora, podemos escrever a função vetorial que representa a curva de interseção:
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é