Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado: raiz3(x) = 2 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem uma raiz em um certo intervalo. Esse teorema é super útil quando queremos provar que uma função passa por um valor específico dentro de um intervalo, mesmo sem saber exatamente onde isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos mover tudo para um lado:
Agora, queremos encontrar um intervalo onde essa função muda de sinal, ou seja, onde f(a) e f(b) têm sinais diferentes. Isso vai nos ajudar a aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Vamos escolher dois valores para x e calcular f(x) para ver os sinais. Vamos tentar x = 0 e x = 1.
Para x = 0:
Para x = 1:
Nesse caso, e . Não temos uma mudança de sinal entre x = 0 e x = 1, então precisamos escolher outro intervalo.

Passo 4

Vamos tentar com e x = 0.
Para :
Para x = 0:
Aqui, e . Ainda assim, não temos uma mudança de sinal nos extremos do intervalo, então vamos tentar outro intervalo.

Passo 5

Agora, vamos escolher x = 1 e x = 2.
Para x = 1:
Para x = 2:
Ainda negativo em ambos pontos. Parece que precisamos expandir mais o intervalo.

Passo 6

Vamos tentar e x = 2.
Para :
Para x = 2:
Agora sim, temos e . Aqui, a função muda de positivo para negativo no intervalo de a x = 2.

Passo 7

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela deve cruzar o eixo x em algum ponto dentro desse intervalo. Nossa função f(x) é contínua porque envolve raízes cúbicas e operações lineares, que são contínuas.

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

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