Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem uma raiz em um certo intervalo. Esse teorema é super útil quando queremos provar que uma função passa por um valor específico dentro de um intervalo, mesmo sem saber exatamente onde isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
para facilitar a análise. Podemos mover tudo para um lado:
Agora, queremos encontrar um intervalo onde essa função muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais diferentes. Isso vai nos ajudar a aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Vamos escolher dois valores para
e calcular
para ver os sinais. Vamos tentar
e
.
Para
:
Para
:
Nesse caso,
e
. Não temos uma mudança de sinal entre
e
, então precisamos escolher outro intervalo.
Passo 4
Vamos tentar com
e
.
Para
:
Para
:
Aqui,
e
. Ainda assim, não temos uma mudança de sinal nos extremos do intervalo, então vamos tentar outro intervalo.
Passo 5
Agora, vamos escolher
e
.
Para
:
Para
:
Ainda negativo em ambos pontos. Parece que precisamos expandir mais o intervalo.
Passo 6
Vamos tentar
e
.
Para
:
Para
:
Agora sim, temos
e
. Aqui, a função muda de positivo para negativo no intervalo de
a
.
Passo 7
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela deve cruzar o eixo
em algum ponto dentro desse intervalo. Nossa função
é contínua porque envolve raízes cúbicas e operações lineares, que são contínuas.
Resposta
Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por
(a)
(b)
(a)
(b)
Encontre as equações simétrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos
e
.
Mostre que
e
é uma parametrização para a hipérbole