Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico de duas curvas que são dadas por equações vetoriais. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como as coordenadas mudam conforme o parâmetro
varia.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte (a) da questão:
Aqui,
é uma função vetorial que mapeia cada valor de
para um ponto no espaço 3D com coordenadas
.
- Componente
: — isso significa que conforme aumenta, o ponto se move ao longo do eixo de forma linear. - Componente
: — esta é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. - Componente
: — também uma função periódica, oscilando entre -1 e 1.
Interpretação: Conforme
varia,
aumenta ou diminui linearmente, enquanto
e
oscilam sinusoidalmente. Isso resulta em uma hélice — uma curva que sobe ou desce em espiral ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte (b):
Aqui, a função vetorial mapeia
para um ponto no plano 2D com coordenadas
.
- Componente
: - Componente
:
Análise: Ambos
e
são proporcionais a
. Se dividirmos
por
, temos:
Isso indica que todos os pontos da curva satisfazem a equação
, que é uma reta com inclinação
.
Observação: Como
varia entre -1 e 1, os pontos da curva estarão entre
e
, correspondendo aos pontos
e
.
Resposta
(a) A curva é uma hélice no espaço 3D que se enrola ao redor do eixo
, com
aumentando linearmente enquanto
e
oscilam senoidalmente.
(b) A curva é uma reta no plano 2D definida pela equação
, estendendo-se entre os pontos
e
.
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e
.
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