Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por
(a) sigma(t) = (t, cos(t), sen(t))
(b) sigma(t) = (2 sen(t), 3 sen(t))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico de duas curvas que são dadas por equações vetoriais. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como as coordenadas mudam conforme o parâmetro varia.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte (a) da questão:
Aqui, é uma função vetorial que mapeia cada valor de para um ponto no espaço 3D com coordenadas .
  • Componente : — isso significa que conforme aumenta, o ponto se move ao longo do eixo de forma linear.
  • Componente : — esta é uma função periódica que oscila entre -1 e 1.
  • Componente : — também uma função periódica, oscilando entre -1 e 1.
Interpretação: Conforme varia, aumenta ou diminui linearmente, enquanto e oscilam sinusoidalmente. Isso resulta em uma hélice — uma curva que sobe ou desce em espiral ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte (b):
Aqui, a função vetorial mapeia para um ponto no plano 2D com coordenadas .
  • Componente :
  • Componente :
Análise: Ambos e são proporcionais a . Se dividirmos por , temos:
Isso indica que todos os pontos da curva satisfazem a equação , que é uma reta com inclinação .
Observação: Como varia entre -1 e 1, os pontos da curva estarão entre e , correspondendo aos pontos e .

Resposta

(a) A curva é uma hélice no espaço 3D que se enrola ao redor do eixo , com aumentando linearmente enquanto e oscilam senoidalmente.
(b) A curva é uma reta no plano 2D definida pela equação , estendendo-se entre os pontos e .

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