Escreva a equação vetorial da curva de intersecção das superfícies
x = ln(z^2 + 2) e y = x z^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação vetorial da curva onde duas superfícies se cruzam. A matéria que vamos usar aqui é de geometria analítica, especificamente sobre curvas de interseção de superfícies. Para resolver, precisamos entender como representar uma curva em termos vetoriais usando um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas superfícies que estamos lidando:
Aqui, a primeira equação relaciona e , e a segunda relaciona com e .

Passo 3

Para encontrar a equação vetorial da curva de interseção, podemos escolher um dos parâmetros como variável independente. Vamos usar como nosso parâmetro, porque ele aparece diretamente nas duas equações.

Passo 4

Com sendo o nosso parâmetro, podemos expressar diretamente em termos de usando a primeira equação:
Essa é a nossa primeira componente da equação vetorial.

Passo 5

Agora, substituímos na segunda equação para encontrar em termos de :
Então, essa é a segunda componente da nossa equação vetorial.

Passo 6

Finalmente, como estamos usando como parâmetro, a terceira componente é simplesmente mesmo:

Resposta

A equação vetorial da curva de intersecção das superfícies é:

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