Escreva a equação vetorial da curva de intersecção das superfícies
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação vetorial da curva onde duas superfícies se cruzam. A matéria que vamos usar aqui é de geometria analítica, especificamente sobre curvas de interseção de superfícies. Para resolver, precisamos entender como representar uma curva em termos vetoriais usando um parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas superfícies que estamos lidando:
Aqui, a primeira equação relaciona
e
, e a segunda relaciona
com
e
.
Passo 3
Para encontrar a equação vetorial da curva de interseção, podemos escolher um dos parâmetros como variável independente. Vamos usar
como nosso parâmetro, porque ele aparece diretamente nas duas equações.
Passo 4
Com
sendo o nosso parâmetro, podemos expressar
diretamente em termos de
usando a primeira equação:
Essa é a nossa primeira componente da equação vetorial.
Passo 5
Agora, substituímos
na segunda equação para encontrar
em termos de
:
Então, essa é a segunda componente da nossa equação vetorial.
Passo 6
Finalmente, como estamos usando
como parâmetro, a terceira componente é simplesmente
mesmo:
Resposta
A equação vetorial da curva de intersecção das superfícies é:
Exercícios relacionados
Mostre que
e
é uma parametrização para a hipérbole
Encontre o domínio
de
que define uma curva
e as equações paramétricas de
.
Resolva as seguintes equações, usando a correspondente solução particular:
.