Mostre que x = ± a sec(t) e y = b tan(t) é uma parametrização para a hipérbole
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as funções e são uma parametrização para a hipérbole dada por . Isso pertence à matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas cônicas e suas parametrizações. Para resolver, vamos substituir essas expressões na equação da hipérbole e verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma hipérbole. Uma parametrização é uma maneira de expressar as coordenadas e em função de um parâmetro, aqui representado por . Assim, ao substituir e na equação da hipérbole, devemos obter uma igualdade que valida a parametrização.

Passo 3

Vamos substituir e na equação da hipérbole .
Primeiro, calculemos :

Passo 4

Agora, calculemos :

Passo 5

Substituindo os resultados na equação da hipérbole:
Sabemos de identidade trigonométrica que:

Passo 6

Portanto, ao substituir e na equação da hipérbole, chegamos a:
Isso confirma que as expressões e satisfazem a equação da hipérbole.

Resposta

As funções e são uma parametrização válida para a hipérbole , já que, ao substituir, a igualdade é satisfeita.

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