Mostre que
e
é uma parametrização para a hipérbole
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as funções
e
são uma parametrização para a hipérbole dada por
. Isso pertence à matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas cônicas e suas parametrizações. Para resolver, vamos substituir essas expressões na equação da hipérbole e verificar se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma hipérbole. Uma parametrização é uma maneira de expressar as coordenadas
e
em função de um parâmetro, aqui representado por
. Assim, ao substituir
e
na equação da hipérbole, devemos obter uma igualdade que valida a parametrização.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação da hipérbole
.
Primeiro, calculemos
:
Passo 4
Agora, calculemos
:
Passo 5
Substituindo os resultados na equação da hipérbole:
Sabemos de identidade trigonométrica que:
Passo 6
Portanto, ao substituir
e
na equação da hipérbole, chegamos a:
Isso confirma que as expressões
e
satisfazem a equação da hipérbole.
Resposta
As funções
e
são uma parametrização válida para a hipérbole
, já que, ao substituir, a igualdade é satisfeita.
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de
que define uma curva
e as equações paramétricas de
.