Seja (2,1) um porto crítico de f satisfazendo
0 < [f_xy(2,1)]^2 - f_xx(2,1) * f_yy(2,1)
Em (2,1) f tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um ponto crítico em (2,1) para a função f. A gente precisa descobrir se nesse ponto a função tem um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar o Teste da Segunda Derivada, que faz parte do cálculo multivariável. Vamos precisar das segundas derivadas parciais de f nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto é crítico se as derivadas parciais primeiras da função f, ou seja, e , são iguais a zero nesse ponto. Já que o enunciado nos diz que (2,1) é um ponto crítico, sabemos que:
Isso é importante porque o teste da segunda derivada usa as derivadas segundas nesse ponto para classificar o tipo de ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos ao Teste da Segunda Derivada. Calculamos o seguinte determinante, chamado de discriminante D:
Dependendo do valor de D, a gente classifica o ponto:
  • Se e , tem mínimo local.
  • Se e , tem máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

No enunciado, temos a informação:
Podemos rearranjar isso para se encaixar na fórmula do discriminante:
Ou seja, .

Passo 5

Já que , conforme o Teste da Segunda Derivada, isso significa que a função f tem um ponto de sela em (2,1). Isso quer dizer que a função tem direções onde fica crescente e outras onde fica decrescente nesse ponto, caracterizando um ponto de inflexão.

Resposta

A função f tem um ponto de sela em (2,1).

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