Seja
um porto crítico de
satisfazendo
Em
tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um ponto crítico em
para a função
. A gente precisa descobrir se nesse ponto a função tem um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar o Teste da Segunda Derivada, que faz parte do cálculo multivariável. Vamos precisar das segundas derivadas parciais de
nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto
é crítico se as derivadas parciais primeiras da função
, ou seja,
e
, são iguais a zero nesse ponto. Já que o enunciado nos diz que
é um ponto crítico, sabemos que:
Isso é importante porque o teste da segunda derivada usa as derivadas segundas nesse ponto para classificar o tipo de ponto crítico.
Passo 3
Agora, vamos ao Teste da Segunda Derivada. Calculamos o seguinte determinante, chamado de discriminante
:
Dependendo do valor de
, a gente classifica o ponto:
- Se
e , tem mínimo local. - Se
e , tem máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
No enunciado, temos a informação:
Podemos rearranjar isso para se encaixar na fórmula do discriminante:
Ou seja,
.
Passo 5
Já que
, conforme o Teste da Segunda Derivada, isso significa que a função
tem um ponto de sela em
. Isso quer dizer que a função tem direções onde fica crescente e outras onde fica decrescente nesse ponto, caracterizando um ponto de inflexão.
Resposta
A função
tem um ponto de sela em
.
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Resposta:
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Resposta:
Se
, onde
é uma constante, mostre que
satisfaz a equação