O circuito abaixo é alimentado por uma fonte de fem alternada varepsilon(t)=(80 V) sen(omega t) e frequência f=50 Hz. Quando a chave está aberta, a corrente no circuito está atrasada de 15^circ em relação à fem do gerador. Com a chave na posição 1 , a corrente está adiantada de 40^circ em relação à mesma fem. Com a chave na posição 2, a corrente máxima é 3,5 A. Encontre os valores de R, L e C para este circuito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito elétrico alimentado por uma fonte de tensão alternada com fórmula e frequência de . O circuito tem uma chave que pode estar em três posições diferentes:
  1. Chave aberta: a corrente está atrasada em em relação à tensão da fonte.
  2. Chave na posição 1: a corrente está adiantada em em relação à mesma tensão.
  3. Chave na posição 2: a corrente máxima é de .
Nosso objetivo é encontrar os valores de (resistência), (indutância) e (capacitância) desse circuito. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, reatância indutiva e capacitiva, impedância e o ângulo de fase entre corrente e tensão.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a frequência angular omega = 2pi f a partir da frequência omega = 2 times pi times 50 = 100pi,rad/s . A relação entre elas é:
Então,

Passo 3

Quando a chave está aberta, a corrente está atrasada em em relação à tensão. Isso indica que a reatância indutiva ( ) está predominando, já que a indutância tende a atrasar a corrente.

Passo 4

Podemos relacionar tan(phi) = XLR e tan(15^circ) = XLR usando o ângulo de fase XL = R cdot tan(15^circ) . A tangente do ângulo de fase é dada por:
XL = omega L
Com omega L = R cdot tan(15^circ) :
Isso nos dá:
Sabemos que a reatância indutiva é:
Portanto:

Passo 5

Quando a chave está na posição 1, a corrente está adiantada em em relação à tensão. Isso indica que a reatância capacitiva ( ) está predominando, já que a capacitância tende a adiantar a corrente.

Passo 6

Novamente, relacionamos tan(-phi) = -XCR e tan(40^circ) = XCR usando o ângulo de fase XC = R cdot tan(40^circ) :
XC = 1omega C
Como 1omega C = R cdot tan(40^circ) , temos:
Portanto:
A reatância capacitiva é:
Então:

Passo 7

Quando a chave está na posição 2, a corrente é máxima ( Imax = varepsilonmaxR ). Corrente máxima em circuitos RLC ocorre quando o circuito está em ressonância, ou seja, quando 3,5 = 80R implies R = 803,5 approx 22,86,Omega . Nesse caso, a impedância é igual apenas à resistência , e a corrente máxima é dada por:
Sabendo que a tensão máxima , temos:

Passo 8

Agora que temos o valor de omega L = R cdot tan(15^circ) , podemos encontrar L = R cdot tan(15^circ)omega e L = 22,86 times tan(15^circ)100pi approx 22,86 times 0,2679314,16 approx 6,13314,16 approx 0,0195,H approx 19,5,mH usando as equações que derivamos anteriormente.
Primeiro, para 1omega C = R cdot tan(40^circ) :
C = 1omega R cdot tan(40^circ)
C = 1100pi times 22,86 times tan(40^circ) approx 1100 times 3,1416 times 22,86 times 0,8391 approx 16031,2 approx 1,66 times 10^-4,F approx 166,muF
Substituindo os valores:
Agora, para :
Substituindo os valores:

Resposta

Os valores do circuito são:
  • Resistência
  • Indutância
  • Capacitância

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