A placa e o catodo de um diodo a vácuo têm a forma de dois cilindros concêntricos com o catodo sendo o cilindro central. O diâmetro do catodo é de 1,5 mm e o diâmetro da placa é de 40,0 mm; os dois elementos têm comprimento de 2,0 cm. Determine a capacitância do diodo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um diodo a vácuo com o cátodo e a placa formando dois cilindros concentrados. O cátodo tem diâmetro de 1,5 mm e a placa de 40,0 mm, ambos com comprimento de 2,0 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacitância desse diodo. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, mais especificamente a fórmula da capacitância para capacitores cilíndricos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros para raios, porque a fórmula da capacitância usa os raios dos cilindros. O raio é metade do diâmetro, então:
  • Raio do cátodo ( ):
  • Raio da placa ( ):
E o comprimento ( ) já está em metros: .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a capacitância de um capacitor cilíndrico:
C = 2pi varepsilon0 Lln(ba)
Onde:
  • é a capacitância,
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é o comprimento dos cilindros,
  • e são os raios dos cilindros interno e externo, respectivamente,
  • é o logaritmo natural.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
C = 2 times pi times 8,854 times 10^-12, F/m times 0,02, mln(0,020, m0,00075, m)
Primeiro, calculamos o logaritmo:
ln(0,0200,00075) = ln(26,6667) approx 3,28
Agora, calculamos o numerador:
2 times pi times 8,854 times 10^-12 times 0,02 approx 1,113 times 10^-12, F
Por fim, dividimos pelo logaritmo:
C approx 1,113 times 10^-12, F3,28 approx 3,397 times 10^-13, F = 339,7, pF

Resposta

A capacitância do diodo é aproximadamente 340 pF.

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