Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potência de 10 volts enquanto a resistência é
, e a capacitância é de
. Encontre a carga
no capacitor em cada instante
, se
. Encontre também a corrente
em cada instante
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um circuito RC, ou seja, um circuito que contém um resistor ® e um capacitor © ligados a uma bateria que fornece uma diferença de potencial de 10 volts. Queremos descobrir duas coisas:
- A carga
no capacitor a cada instante de tempo . - A corrente
no circuito a cada instante de tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que descrevem o comportamento de um circuito RC durante o carregamento do capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga no capacitor em um circuito RC durante o carregamento é dada pela fórmula:
Aqui:
-
é a carga máxima que o capacitor pode armazenar, que é . -
é a resistência. -
é a capacitância. -
é o tempo. -
é a base dos logaritmos naturais.
Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, substituímos os valores na equação da carga:
Vamos simplificar o expoente:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a corrente
. Sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Vamos derivar a expressão de
:
A derivada de
é zero, e a derivada de
é
.
Então:
Resposta
A carga no capacitor a cada instante
é:
E a corrente no circuito a cada instante
é:
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.
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. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou
. A temperatura do ambiente foi mantida constante a
. Devemos admitir também que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de
. Determine a hora aproximada que essa pessoa veio a óbito.
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente: