Suponhamos que o corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. As 22 h e 30min o perito criminal chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de . Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou . A temperatura do ambiente foi mantida constante a . Devemos admitir também que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de . Determine a hora aproximada que essa pessoa veio a óbito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma vítima cujo corpo foi encontrado às 22 horas. O perito mediu a temperatura do corpo às 22:30 e depois às 23:30. Queremos descobrir a que horas a pessoa morreu.
Vamos precisar usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a relacionar a temperatura do corpo com o tempo e a temperatura do ambiente. Essa lei diz que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de a temperatura do corpo no tempo , onde é o momento da morte. Sabemos que a temperatura normal do corpo humano é e a temperatura do ambiente é .
A Lei do Resfriamento de Newton é dada por:
Onde:
  • é a temperatura do corpo no tempo .
  • é a temperatura ambiente.
  • é uma constante positiva que depende das condições do ambiente.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral da lei do resfriamento é:
Onde é a temperatura inicial do corpo, ou seja, a temperatura no momento da morte, que assumimos ser .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos utilizar as informações dadas:
  1. Às 22:30, que corresponde a , a temperatura é .
  2. Às 23:30, que é uma hora depois, , a temperatura é .
Vamos substituir esses valores na equação para encontrar .
Para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 20,5:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Agora, para :
Simplificando:
Sabemos que (do passo anterior):
Calculando :
Dividindo ambos os lados por 16:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 6

Agora que temos e sabemos que , podemos encontrar :
Isso significa que, desde a hora do óbito até às 22 h, passaram aproximadamente 3,84 horas.

Resposta

A pessoa veio a óbito por volta das 18:10 horas.

Exercícios relacionados

Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potência de 10 volts enquanto a resistência é , e a capacitância é de . Encontre a carga no capacitor em cada instante , se . Encontre também a corrente em cada instante .
Resolva as seguintes EDO(b) .
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
Um termômetro marcando é levado para dentro de um forno preaquecido a temperatura constante. Do lado de fora um observador vê o termômetro marcar após minutos e após 1 minuto. Qual é a temperatura do forno?