Suponhamos que o corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. As 22 h e 30min o perito criminal chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de
. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou
. A temperatura do ambiente foi mantida constante a
. Devemos admitir também que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de
. Determine a hora aproximada que essa pessoa veio a óbito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma vítima cujo corpo foi encontrado às 22 horas. O perito mediu a temperatura do corpo às 22:30 e depois às 23:30. Queremos descobrir a que horas a pessoa morreu.
Vamos precisar usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a relacionar a temperatura do corpo com o tempo e a temperatura do ambiente. Essa lei diz que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de
a temperatura do corpo no tempo
, onde
é o momento da morte. Sabemos que a temperatura normal do corpo humano é
e a temperatura do ambiente é
.
A Lei do Resfriamento de Newton é dada por:
Onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo . -
é a temperatura ambiente. -
é uma constante positiva que depende das condições do ambiente.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral da lei do resfriamento é:
Onde
é a temperatura inicial do corpo, ou seja, a temperatura no momento da morte, que assumimos ser
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos utilizar as informações dadas:
- Às 22:30, que corresponde a
, a temperatura é . - Às 23:30, que é uma hora depois,
, a temperatura é .
Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
.
Para
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 20,5:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Agora, para
:
Simplificando:
Sabemos que
(do passo anterior):
Calculando
:
Dividindo ambos os lados por 16:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 6
Agora que temos
e sabemos que
, podemos encontrar
:
Isso significa que, desde a hora do óbito até às 22 h, passaram aproximadamente 3,84 horas.
Resposta
A pessoa veio a óbito por volta das 18:10 horas.