Resolva as seguintes EDO(b)
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, y’(x) representa a derivada de y em relação a x. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares e fatores integrantes.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação dada para facilitar a resolução. Primeiro, invertendo a equação diferencial para expressar dx/dy:
Isso transforma a nossa equação em uma EDO linear de primeira ordem na forma:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes na forma padrão da EDO linear:
- P(y) é o coeficiente de x, que neste caso é
. - Q(y) é o termo livre, que é
.
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante (µ(y)) que nos ajudará a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo P(y):
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante µ(y):
Simplificando o lado direito:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a y:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Calculando a integral no lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para x isolando-o na equação:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.