Encontre uma função cujo quadrado mais o quadrado da sua derivada seja 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função
tal que o quadrado dela mais o quadrado da sua derivada seja igual a 1. Ou seja, estamos lidando com uma equação diferencial porque envolve a função e sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a função com sua derivada e usar um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. Temos:
Isso significa que somando o quadrado da função
com o quadrado da sua derivada em relação a
, a gente obtém 1.
Passo 3
Agora, vamos tentar isolar
. Subtraindo
de ambos os lados da equação, temos:
Para facilitar, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa, então:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
. Vamos reescrever a equação da seguinte forma:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
.
Passo 5
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Igualando as integrais, temos:
Agora, vamos resolver para
:
Como
, podemos simplificar a constante
para absorver o sinal. Então, podemos escrever:
Resposta
A função que satisfaz a condição é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(4) .
(4)
Mostre que toda solução da EDO
onde
é um número real positivo e
é um número real qualquer, tende a zero quando
tende para o infinito.
Resolva as seguintes EDO(b)
.
Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potência de 10 volts enquanto a resistência é
, e a capacitância é de
. Encontre a carga
no capacitor em cada instante
, se
. Encontre também a corrente
em cada instante
.