Encontre uma função cujo quadrado mais o quadrado da sua derivada seja 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função tal que o quadrado dela mais o quadrado da sua derivada seja igual a 1. Ou seja, estamos lidando com uma equação diferencial porque envolve a função e sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a função com sua derivada e usar um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. Temos:
Isso significa que somando o quadrado da função com o quadrado da sua derivada em relação a , a gente obtém 1.

Passo 3

Agora, vamos tentar isolar . Subtraindo de ambos os lados da equação, temos:
Para facilitar, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa, então:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e . Vamos reescrever a equação da seguinte forma:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar .

Passo 5

A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Igualando as integrais, temos:
Agora, vamos resolver para :
Como , podemos simplificar a constante para absorver o sinal. Então, podemos escrever:

Resposta

A função que satisfaz a condição é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(4) .
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