Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Solução Geral de uma Equação de Riccati. A equação dada é:
Além disso, já sabemos uma solução particular dessa equação, que é .
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não-lineares, especificamente a transformação que simplifica a Equação de Riccati usando uma solução particular conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Riccati. É uma equação diferencial do tipo:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Sabemos que se temos uma solução particular , podemos fazer uma substituição para encontrar a solução geral.

Passo 3

A substituição que vamos usar é:
Onde é uma nova função que precisamos encontrar. Vamos derivar essa expressão para encontrar :

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando essa expressão.

Passo 5

Sabemos que é uma solução particular, ou seja, satisfaz a equação original quando substituída. Isso significa que quando substituímos na equação, os termos se cancelam, facilitando a simplificação.
Após simplificar, ficamos com uma equação linear em termos de :
Substituindo os valores de , , e .

Passo 6

Calculando os coeficientes:
Então, a equação para fica:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 7

Vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , então . Mas isso não simplifica facilmente, então usamos a substituição direta , e a integral se torna relacionada à função erro, que não tem solução elementar. Porém, para fins de solução geral, mantemos a expressão integral.

Passo 9

Isolando :
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Voltando à substituição original :
Simplificando, temos a solução geral da Equação de Riccati:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante de integração.

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