Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Solução Geral de uma Equação de Riccati. A equação dada é:
Além disso, já sabemos uma solução particular dessa equação, que é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não-lineares, especificamente a transformação que simplifica a Equação de Riccati usando uma solução particular conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Riccati. É uma equação diferencial do tipo:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Sabemos que se temos uma solução particular
, podemos fazer uma substituição para encontrar a solução geral.
Passo 3
A substituição que vamos usar é:
Onde
é uma nova função que precisamos encontrar. Vamos derivar essa expressão para encontrar
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando essa expressão.
Passo 5
Sabemos que
é uma solução particular, ou seja, satisfaz a equação original quando substituída. Isso significa que quando substituímos
na equação, os termos se cancelam, facilitando a simplificação.
Após simplificar, ficamos com uma equação linear em termos de
:
Substituindo os valores de
,
, e
.
Passo 6
Calculando os coeficientes:
Então, a equação para
fica:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 7
Vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
, então
. Mas isso não simplifica facilmente, então usamos a substituição direta
, e a integral se torna relacionada à função erro, que não tem solução elementar. Porém, para fins de solução geral, mantemos a expressão integral.
Passo 9
Isolando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Voltando à substituição original
:
Simplificando, temos a solução geral da Equação de Riccati:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante de integração.