Um circuito é constituído por uma bateria que fornece uma diferença de potencial V e três condensadores de placas paralelas, planas, ligadas em paralelo. As placas dos três condensadores têm a mesma área A e são separadas pela mesma distância d. O espaço entre as placas do primeiro capacitor está completamente preenchido por duas placas dielétricas, planas, retangulares, cada uma de área , de constantes dielétricas e . Está vazio o espaço entre as placas do segundo capacitor. O terceiro está completamente preenchido por um dielétrico de constante . Usando os dados fornecidos, calcule a capacitância equivalente do sistema.

Passo 1

Então, temos aqui um circuito com uma bateria que fornece uma diferença de potencial e três capacitores de placas paralelas, todos ligados em paralelo. Cada capacitor tem a mesma área das placas e a mesma distância entre elas. Vamos precisar entender como capacitância funciona, especialmente quando usamos dielétricos diferentes ou deixamos o espaço vazio. Nosso objetivo é calcular a capacitância equivalente desse sistema todo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando capacitores estão ligados em paralelo, a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias individuais. Ou seja:
Então, precisamos calcular , e separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro capacitor ( ). Ele está preenchido com duas placas dielétricas, cada uma com área e constantes dielétricas e . Quando temos diferentes dielétricos em um capacitor, podemos pensar que o capacitor está dividido em duas partes, cada uma com seu próprio dielétrico.
A capacitância de cada parte é dada por:
Como as áreas são , as capacitâncias das duas partes serão:

Passo 4

Como essas duas partes estão em série dentro do primeiro capacitor, a capacitância equivalente é dada por:
Substituindo e :
Invertendo para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos para o segundo capacitor ( ). Ele está vazio, ou seja, apenas com o vácuo (o que é equivalente a ). Portanto, sua capacitância é:

Passo 6

Por fim, o terceiro capacitor ( ) está completamente preenchido com um dielétrico de constante . Assim, sua capacitância é:

Passo 7

Agora que temos , e , vamos somá-los para encontrar a capacitância equivalente do sistema:
Podemos fatorar em comum:

Resposta

A capacitância equivalente do sistema é:

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Dada , forme as expressões e .