Um circuito é constituído por uma bateria que fornece uma diferença de potencial V e três condensadores de placas paralelas, planas, ligadas em paralelo. As placas dos três condensadores têm a mesma área A e são separadas pela mesma distância d. O espaço entre as placas do primeiro capacitor está completamente preenchido por duas placas dielétricas, planas, retangulares, cada uma de área A / 2, de constantes dielétricas K1 e K2. Está vazio o espaço entre as placas do segundo capacitor. O terceiro está completamente preenchido por um dielétrico de constante K3. Usando os dados fornecidos, calcule a capacitância equivalente do sistema.

Passo 1

Então, temos aqui um circuito com uma bateria que fornece uma diferença de potencial e três capacitores de placas paralelas, todos ligados em paralelo. Cada capacitor tem a mesma área das placas e a mesma distância entre elas. Vamos precisar entender como capacitância funciona, especialmente quando usamos dielétricos diferentes ou deixamos o espaço vazio. Nosso objetivo é calcular a capacitância equivalente desse sistema todo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando capacitores estão ligados em paralelo, a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias individuais. Ou seja:
Ceq = C1 + C2 + C3
Então, precisamos calcular , e separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro capacitor ( C = K cdot varepsilon0 Ad ). Ele está preenchido com duas placas dielétricas, cada uma com área C1a = K1 cdot varepsilon0 cdot A2d e constantes dielétricas C1b = K2 cdot varepsilon0 cdot A2d e . Quando temos diferentes dielétricos em um capacitor, podemos pensar que o capacitor está dividido em duas partes, cada uma com seu próprio dielétrico.
A capacitância de cada parte é dada por:
Como as áreas são , as capacitâncias das duas partes serão:

Passo 4

Como essas duas partes estão em série dentro do primeiro capacitor, a capacitância equivalente 1C1 = 1C1a + 1C1b é dada por:
1C1 = 1K1 cdot varepsilon0 A2d + 1K2 cdot varepsilon0 A2d = 2dK1 varepsilon0 A + 2dK2 varepsilon0 A = 2dvarepsilon0 A ( 1K1 + 1K2 )
Substituindo C1 = varepsilon0 A2d cdot K1 K2K1 + K2 e :
Invertendo para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos para o segundo capacitor ( C2 = K cdot varepsilon0 Ad = varepsilon0 Ad ). Ele está vazio, ou seja, apenas com o vácuo (o que é equivalente a ). Portanto, sua capacitância é:

Passo 6

Por fim, o terceiro capacitor ( C3 = K3 cdot varepsilon0 Ad ) está completamente preenchido com um dielétrico de constante . Assim, sua capacitância é:

Passo 7

Agora que temos Ceq = C1 + C2 + C3 = varepsilon0 A2d cdot K1 K2K1 + K2 + varepsilon0 Ad + K3 cdot varepsilon0 Ad , Ceq = varepsilon0 Ad ( K1 K22(K1 + K2) + 1 + K3 ) e , vamos somá-los para encontrar a capacitância equivalente do sistema:
Podemos fatorar em comum:

Resposta

A capacitância equivalente do sistema é:
Ceq = varepsilon0 Ad ( K1 K22(K1 + K2) + 1 + K3 )

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